[{"id":"mathematik_001","word":"die Gleichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"方程式","translationEn":"equation","usageNotes":"線形方程式（lineare Gleichung）、二次方程式（quadratische Gleichung）など形容詞を前置して種類を区別する。記号では左辺＝右辺の形式（LHS = RHS）に対応。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 aequatio（均等にすること）< aequare（等しくする）< aequus（等しい）","exampleDe":"Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei reelle Lösungen.","exampleJa":"二次方程式は最大2つの実数解を持つ。","exampleEn":"A quadratic equation has at most two real solutions."},{"id":"mathematik_002","word":"die Variable","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"変数","translationEn":"variable","usageNotes":"記号では x, y, z などで表される。定数（die Konstante）と対比して用いる。複数形: die Variablen。","synonyms":["die Unbekannte"],"etymology":"ラテン語 variabilis（変わりうる）< variare（変える）< varius（さまざまな）","exampleDe":"In der Gleichung 2x + 3 = 7 ist x die gesuchte Variable.","exampleJa":"方程式 2x + 3 = 7 において、x が求めるべき変数である。","exampleEn":"In the equation 2x + 3 = 7, x is the variable to be found."},{"id":"mathematik_003","word":"der Koeffizient","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"係数","translationEn":"coefficient","usageNotes":"多項式 ax² + bx + c において a, b, c がそれぞれの係数。führender Koeffizient（最高次の係数）という表現もよく使われる。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 co-（共に）+ efficiens（効果をもたらすもの）< efficere（成し遂げる）","exampleDe":"Der Koeffizient des quadratischen Terms bestimmt die Öffnungsrichtung der Parabel.","exampleJa":"二次項の係数が放物線の開く方向を決める。","exampleEn":"The coefficient of the quadratic term determines the opening direction of the parabola."},{"id":"mathematik_004","word":"die Funktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"関数","translationEn":"function","usageNotes":"f: A → B と表記。Definitionsbereich（定義域）と Wertebereich（値域）をセットで扱う。eine Funktion definieren（関数を定義する）。","synonyms":["die Abbildung"],"etymology":"ラテン語 functio（実行・働き）< fungi（果たす）","exampleDe":"Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu.","exampleJa":"関数は定義域の各要素に対して目標集合の要素をちょうど1つ対応させる。","exampleEn":"A function assigns exactly one element of the codomain to each element of the domain."},{"id":"mathematik_005","word":"die Matrix","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"行列","translationEn":"matrix","usageNotes":"複数形: die Matrizen。m×n 行列（m-mal-n-Matrix）と表現。正方行列（quadratische Matrix）、単位行列（Einheitsmatrix）など。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 matrix（母体・子宮）< mater（母）。数学では「数の配列を包む枠」の意味に転用。","exampleDe":"Das Produkt zweier Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ.","exampleJa":"2つの行列の積は一般に可換ではない。","exampleEn":"The product of two matrices is not commutative in general."},{"id":"mathematik_006","word":"der Vektor","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"ベクトル","translationEn":"vector","usageNotes":"矢印記号 →a または太字 a で表記。Betrag（大きさ）と Richtung（方向）を持つ。Nullvektor（零ベクトル）、Einheitsvektor（単位ベクトル）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 vector（運ぶ者）< vehere（運ぶ）","exampleDe":"Ein Vektor im ℝ³ wird durch drei Komponenten eindeutig beschrieben.","exampleJa":"ℝ³ のベクトルは3つの成分によって一意に記述される。","exampleEn":"A vector in ℝ³ is uniquely described by three components."},{"id":"mathematik_007","word":"die Ableitung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"導関数、微分","translationEn":"derivative","usageNotes":"die erste Ableitung（一階導関数）、die zweite Ableitung（二階導関数）。記号: f'(x) または df/dx（ライプニッツ記法）。動詞は ableiten。","synonyms":["der Differentialquotient"],"etymology":"ドイツ語 ab-（から）+ leiten（導く）。英語 derivative のような外来語ではなくドイツ語純化語。","exampleDe":"Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an.","exampleJa":"関数の導関数は瞬間的な変化率を表す。","exampleEn":"The derivative of a function gives the instantaneous rate of change."},{"id":"mathematik_008","word":"das Integral","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"積分","translationEn":"integral","usageNotes":"bestimmtes Integral（定積分）と unbestimmtes Integral（不定積分）を区別。∫f(x)dx と表記。動詞は integrieren。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 integer（全体・完全な）< in-（否定）+ tangere（触れる）。微小部分を「完全な全体」に統合するイメージ。","exampleDe":"Das bestimmte Integral berechnet die Fläche unter einer Kurve.","exampleJa":"定積分は曲線の下の面積を計算する。","exampleEn":"The definite integral calculates the area under a curve."},{"id":"mathematik_009","word":"der Grenzwert","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"極限値","translationEn":"limit","usageNotes":"lim_{x→a} f(x) = L と表記。der Limes（同義語）はラテン語由来でより学術的。Grenzwert existiert（極限値が存在する）という表現を用いる。","synonyms":["der Limes"],"etymology":"ドイツ語 Grenze（境界）+ Wert（値）。「境界における値」という直訳通りの合成語。","exampleDe":"Der Grenzwert von (1 + 1/n)^n für n → ∞ ist die Eulersche Zahl e.","exampleJa":"n → ∞ のときの (1 + 1/n)^n の極限値はオイラー数 e である。","exampleEn":"The limit of (1 + 1/n)^n as n → ∞ is Euler's number e."},{"id":"mathematik_010","word":"die Stetigkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"連続性","translationEn":"continuity","usageNotes":"形容詞は stetig（連続な）。eine Funktion ist stetig in x₀（関数は x₀ で連続である）。gleichmäßige Stetigkeit（一様連続性）と区別する。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 stetig（途切れない）< stets（常に）+ -igkeit（性質を表す接尾辞）","exampleDe":"Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph ohne Unterbrechung gezeichnet werden kann.","exampleJa":"関数がグラフを途切れなく描ける場合、その関数は連続である。","exampleEn":"A function is continuous if its graph can be drawn without interruption."},{"id":"mathematik_011","word":"die Reihe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"級数","translationEn":"series","usageNotes":"数列（die Folge）の和。unendliche Reihe（無限級数）、konvergente Reihe（収束する級数）。∑ 記号で表記。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 series（列・系列）< serere（つなぐ）","exampleDe":"Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn der Quotient betragsmäßig kleiner als eins ist.","exampleJa":"等比級数は公比の絶対値が1未満のときに限り収束する。","exampleEn":"The geometric series converges if and only if the absolute value of the ratio is less than one."},{"id":"mathematik_012","word":"der Punkt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"点","translationEn":"point","usageNotes":"座標で表記: Punkt P(x, y)。kritischer Punkt（臨界点）、Fixpunkt（不動点）など複合語が多い。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 punctum（刺し跡・点）< pungere（刺す）","exampleDe":"Zwei verschiedene Punkte bestimmen eindeutig eine Gerade.","exampleJa":"異なる2点は唯一の直線を決定する。","exampleEn":"Two distinct points uniquely determine a straight line."},{"id":"mathematik_013","word":"die Gerade","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"直線","translationEn":"straight line","usageNotes":"Geradengleichung（直線の方程式）: y = mx + b。Steigung m（傾き）と y-Achsenabschnitt b（y切片）で定まる。半直線は die Halbgerade。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 gerade（まっすぐな）< 古高ドイツ語 garad（準備された・整えられた）","exampleDe":"Eine Gerade im ℝ² wird durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig bestimmt.","exampleJa":"ℝ² における直線は1点と方向ベクトルによって一意に定まる。","exampleEn":"A straight line in ℝ² is uniquely determined by a point and a direction vector."},{"id":"mathematik_014","word":"der Winkel","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"角、角度","translationEn":"angle","usageNotes":"単位: Grad（°）またはラジアン（rad）。spitzer Winkel（鋭角）、rechter Winkel（直角）、stumpfer Winkel（鈍角）。記号: ∠ABC。","synonyms":[],"etymology":"古高ドイツ語 angul（鉤・角）< ラテン語 angulus（角）< ギリシャ語 ankos（曲がり）","exampleDe":"Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180 Grad.","exampleJa":"三角形の内角の和は常に180度である。","exampleEn":"The sum of the interior angles of a triangle always equals 180 degrees."},{"id":"mathematik_015","word":"die Fläche","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"面、面積","translationEn":"area, surface","usageNotes":"Flächeninhalt（面積の大きさ）と区別することもある。Flächenberechnung（面積の計算）。単位: m²（Quadratmeter）。","synonyms":["der Flächeninhalt"],"etymology":"古高ドイツ語 flah（平らな）。英語 flat と同語源。","exampleDe":"Die Fläche eines Kreises mit Radius r berechnet sich als π·r².","exampleJa":"半径 r の円の面積は π·r² として計算される。","exampleEn":"The area of a circle with radius r is calculated as π·r²."},{"id":"mathematik_016","word":"das Volumen","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"体積","translationEn":"volume","usageNotes":"単位: m³（Kubikmeter）。Volumenberechnung（体積の計算）。Rauminhalt とも言う。","synonyms":["der Rauminhalt"],"etymology":"ラテン語 volumen（巻物・丸めたもの）< volvere（転がす）。後に「空間の広がり」の意味に拡張。","exampleDe":"Das Volumen einer Kugel mit Radius r beträgt (4/3)·π·r³.","exampleJa":"半径 r の球の体積は (4/3)·π·r³ である。","exampleEn":"The volume of a sphere with radius r is (4/3)·π·r³."},{"id":"mathematik_017","word":"die Symmetrie","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"対称性","translationEn":"symmetry","usageNotes":"Achsensymmetrie（軸対称）、Punktsymmetrie（点対称）、Rotationssymmetrie（回転対称）など。形容詞: symmetrisch。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 symmetria（均整）< syn-（共に）+ metron（測り）","exampleDe":"Eine Parabel besitzt eine Achsensymmetrie bezüglich ihrer Scheitelpunktachse.","exampleJa":"放物線は頂点軸に関して軸対称性を持つ。","exampleEn":"A parabola has axial symmetry with respect to its vertex axis."},{"id":"mathematik_018","word":"die Wahrscheinlichkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"確率","translationEn":"probability","usageNotes":"0 ≤ P(A) ≤ 1 の範囲を取る。bedingte Wahrscheinlichkeit（条件付き確率）: P(A|B)。Wahrscheinlichkeit berechnen（確率を計算する）。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 wahrscheinlich（ありそうな）+ -keit（名詞化接尾辞）。wahr（真・本当）+ scheinlich（見える）の合成。","exampleDe":"Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln eine Sechs zu werfen, beträgt 1/6.","exampleJa":"サイコロを1回振って6が出る確率は1/6である。","exampleEn":"The probability of rolling a six with a single die is 1/6."},{"id":"mathematik_019","word":"der Erwartungswert","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"期待値","translationEn":"expected value","usageNotes":"E(X) または μ で表記。E(X) = ∑ xᵢ·P(xᵢ)（離散）または ∫ x·f(x)dx（連続）。","synonyms":["der Mittelwert"],"etymology":"ドイツ語 erwarten（期待する）+ Wert（値）。「期待される値」という直訳通りの合成語。","exampleDe":"Der Erwartungswert eines fairen Würfels ist (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5.","exampleJa":"公平なサイコロの期待値は (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 である。","exampleEn":"The expected value of a fair die is (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5."},{"id":"mathematik_020","word":"die Varianz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"分散","translationEn":"variance","usageNotes":"Var(X) または σ² で表記。標準偏差（die Standardabweichung）は分散の平方根。Var(X) = E[(X - μ)²]。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 variare（変える）+ -anz（名詞化接尾辞）。「変動の程度」を表す。","exampleDe":"Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Erwartungswert.","exampleJa":"分散は期待値からの二乗偏差の平均を測る。","exampleEn":"The variance measures the average squared deviation from the expected value."},{"id":"mathematik_021","word":"die Normalverteilung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"正規分布","translationEn":"normal distribution","usageNotes":"X ~ N(μ, σ²) と表記。Gaußsche Normalverteilung（ガウス正規分布）とも呼ぶ。Standardnormalverteilung（標準正規分布）は μ=0, σ²=1。","synonyms":["die Gaußverteilung"],"etymology":"normal（規範的な）+ Verteilung（分布）< verteilen（分配する）。Gaußscher Glockenkurve（ガウスの釣鐘曲線）とも呼ばれる。","exampleDe":"Viele natürliche Messgrößen folgen annähernd einer Normalverteilung.","exampleJa":"多くの自然な測定量は正規分布に近似的に従う。","exampleEn":"Many natural measurements approximately follow a normal distribution."},{"id":"mathematik_022","word":"die Menge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"集合","translationEn":"set","usageNotes":"大文字 A, B, M などで表記。x ∈ M（x は M の元）。leere Menge（空集合）は ∅。Mengenoperationen（集合演算）。","synonyms":[],"etymology":"古高ドイツ語 mengi（多数・集まり）。数学的意味は Georg Cantor が19世紀に確立。","exampleDe":"Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit ℕ bezeichnet.","exampleJa":"自然数の集合は ℕ と表記される。","exampleEn":"The set of natural numbers is denoted by ℕ."},{"id":"mathematik_023","word":"die Teilmenge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"部分集合","translationEn":"subset","usageNotes":"A ⊆ B（A は B の部分集合）。A ⊂ B は真部分集合（echte Teilmenge）を表すこともある。","synonyms":["die Untermenge"],"etymology":"ドイツ語 Teil（部分）+ Menge（集合）の合成語。","exampleDe":"Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst.","exampleJa":"すべての集合は自分自身の部分集合である。","exampleEn":"Every set is a subset of itself."},{"id":"mathematik_024","word":"die Schnittmenge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"積集合、共通部分","translationEn":"intersection","usageNotes":"A ∩ B で表記。「A かつ B に属する要素全体」。disjunkte Mengen（互いに素な集合）では A ∩ B = ∅。","synonyms":["der Durchschnitt"],"etymology":"ドイツ語 schneiden（切る・交わる）+ Menge（集合）。「切り取った共通部分」のイメージ。","exampleDe":"Die Schnittmenge zweier Mengen enthält genau die Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.","exampleJa":"2つの集合の積集合は、両方の集合に属する要素をちょうど含む。","exampleEn":"The intersection of two sets contains exactly the elements that appear in both sets."},{"id":"mathematik_025","word":"die Vereinigung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"和集合","translationEn":"union","usageNotes":"A ∪ B で表記。「A または B に属する要素全体」。Vereinigungsmenge とも言う。","synonyms":["die Vereinigungsmenge"],"etymology":"ドイツ語 vereinigen（統一する）+ -ung（名詞化接尾辞）< ein（一つ）","exampleDe":"Die Vereinigung zweier Mengen enthält alle Elemente, die in mindestens einer der beiden Mengen liegen.","exampleJa":"2つの集合の和集合は、少なくとも一方の集合に属するすべての要素を含む。","exampleEn":"The union of two sets contains all elements that belong to at least one of the two sets."},{"id":"mathematik_026","word":"das Komplement","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"補集合","translationEn":"complement","usageNotes":"Aᶜ または Ā で表記。全体集合 U に対して、A に属さない要素の集合。Komplementmenge とも言う。","synonyms":["die Komplementmenge"],"etymology":"ラテン語 complementum（補完するもの）< complere（満たす）","exampleDe":"Das Komplement von A bezüglich U enthält alle Elemente aus U, die nicht in A liegen.","exampleJa":"U に対する A の補集合は、U に属するが A には属さないすべての要素を含む。","exampleEn":"The complement of A with respect to U contains all elements of U that are not in A."},{"id":"mathematik_027","word":"die Primzahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"素数","translationEn":"prime number","usageNotes":"1より大きく、1と自分自身以外に約数を持たない自然数。2は唯一の偶数素数。Primzahlzerlegung（素因数分解）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 primus（第一の・最初の）+ Zahl（数）。「他の数の基本（第一）となる数」の意味。","exampleDe":"Es gibt unendlich viele Primzahlen, wie Euklid bereits in der Antike bewiesen hat.","exampleJa":"ユークリッドが古代にすでに証明したように、素数は無限に存在する。","exampleEn":"There are infinitely many prime numbers, as Euclid already proved in antiquity."},{"id":"mathematik_028","word":"der Teiler","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"約数、除数","translationEn":"divisor","usageNotes":"d teilt n（d は n を割り切る）は d | n と表記。größter gemeinsamer Teiler（最大公約数）は ggT。","synonyms":["der Divisor"],"etymology":"ドイツ語 teilen（分ける）+ -er（行為者接尾辞）。「数を等分するもの」の意。","exampleDe":"Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12.","exampleJa":"12の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12 である。","exampleEn":"The divisors of 12 are 1, 2, 3, 4, 6, and 12."},{"id":"mathematik_029","word":"das Vielfache","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"倍数","translationEn":"multiple","usageNotes":"n の倍数: n, 2n, 3n, ...。kleinstes gemeinsames Vielfaches（最小公倍数）は kgV。形容詞 vielfach（多様な）と関連。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 viel（多い）+ fach（折・重ね）。「何倍にも重なった数」の意味。","exampleDe":"Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist 12.","exampleJa":"4と6の最小公倍数は12である。","exampleEn":"The least common multiple of 4 and 6 is 12."},{"id":"mathematik_030","word":"der Bruch","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"分数","translationEn":"fraction","usageNotes":"a/b（a は Zähler「分子」、b は Nenner「分母」）。gemeiner Bruch（普通分数）と Dezimalbruch（小数）を区別。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 brechen（割る・砕く）の名詞形。「割れたもの」= 分割された数。ラテン語 fractio と同義。","exampleDe":"Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind.","exampleJa":"分子と分母が互いに素のとき、分数は既約（最小公分数）である。","exampleEn":"A fraction is fully reduced when the numerator and denominator are coprime."},{"id":"mathematik_031","word":"der Nenner","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"分母","translationEn":"denominator","usageNotes":"分数 a/b の下側の数 b。共通分母（gemeinsamer Nenner）を求める操作が通分（Gleichnamigmachen）。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 nennen（名づける）+ -er。「数に名前をつけるもの（単位を示すもの）」の意味。","exampleDe":"Um Brüche zu addieren, müssen sie einen gemeinsamen Nenner haben.","exampleJa":"分数を足し算するには、共通の分母が必要である。","exampleEn":"To add fractions, they must have a common denominator."},{"id":"mathematik_032","word":"der Zähler","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"分子","translationEn":"numerator","usageNotes":"分数 a/b の上側の数 a。「数える（zählen）もの」として単位をいくつ取るかを示す。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 zählen（数える）+ -er。「いくつあるかを数えるもの」の意。","exampleDe":"Im Bruch 3/4 ist 3 der Zähler und 4 der Nenner.","exampleJa":"分数 3/4 において、3が分子で4が分母である。","exampleEn":"In the fraction 3/4, 3 is the numerator and 4 is the denominator."},{"id":"mathematik_033","word":"berechnen","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"計算する","translationEn":"to calculate, to compute","usageNotes":"+Akkusativ。etwas berechnen（何かを計算する）。類義語 ausrechnen（算出する）より形式的・学術的な語。","synonyms":["ausrechnen","kalkulieren","ermitteln"],"etymology":"ドイツ語 be-（強意）+ rechnen（計算する）< 古高ドイツ語 rehhanon（並べる）","exampleDe":"Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks mit Grundlinie 6 cm und Höhe 4 cm.","exampleJa":"底辺6cm、高さ4cmの三角形の面積を計算せよ。","exampleEn":"Calculate the area of the triangle with base 6 cm and height 4 cm."},{"id":"mathematik_034","word":"beweisen","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"証明する","translationEn":"to prove","usageNotes":"+Akkusativ。einen Satz beweisen（定理を証明する）。不規則変化: bewies / bewiesen。der Beweis（証明・名詞）と対応。","synonyms":["nachweisen","zeigen"],"etymology":"ドイツ語 be-（強意）+ weisen（示す）< 古高ドイツ語 wisan（知らせる）","exampleDe":"Man kann beweisen, dass √2 keine rationale Zahl ist.","exampleJa":"√2 が有理数でないことを証明できる。","exampleEn":"One can prove that √2 is not a rational number."},{"id":"mathematik_035","word":"ableiten","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"微分する、導く","translationEn":"to differentiate, to derive","usageNotes":"+Akkusativ。eine Funktion ableiten（関数を微分する）。分離動詞: ich leite ab。名詞形 die Ableitung（導関数）と対応。","synonyms":["differenzieren"],"etymology":"ドイツ語 ab-（から）+ leiten（導く）。英語 derive と同様「引き出す」イメージ。","exampleDe":"Um f(x) = x³ abzuleiten, wendet man die Potenzregel an.","exampleJa":"f(x) = x³ を微分するには、べき乗則を適用する。","exampleEn":"To differentiate f(x) = x³, one applies the power rule."},{"id":"mathematik_036","word":"integrieren","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"積分する","translationEn":"to integrate","usageNotes":"+Akkusativ。eine Funktion integrieren（関数を積分する）。numerisch integrieren（数値積分する）。名詞形 das Integral と対応。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 integrare（全体にする）< integer（完全な）。微分の逆操作として「部分を全体に戻す」イメージ。","exampleDe":"Die Funktion f(x) = 2x wird integriert zu F(x) = x² + C.","exampleJa":"関数 f(x) = 2x を積分すると F(x) = x² + C になる。","exampleEn":"The function f(x) = 2x is integrated to yield F(x) = x² + C."},{"id":"mathematik_037","word":"approximieren","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"近似する","translationEn":"to approximate","usageNotes":"+Akkusativ。eine Funktion approximieren（関数を近似する）。näherungsweise berechnen（近似的に計算する）とも言い換えられる。","synonyms":["annähern","näherungsweise bestimmen"],"etymology":"ラテン語 approximare（近づける）< ad-（へ）+ proximus（最も近い）","exampleDe":"Die Zahl π wird häufig durch 3,14159 approximiert.","exampleJa":"π という数はしばしば 3.14159 で近似される。","exampleEn":"The number π is often approximated by 3.14159."},{"id":"mathematik_038","word":"konvergieren","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"収束する","translationEn":"to converge","usageNotes":"gegen etwas konvergieren（何かに収束する）。対義語: divergieren（発散する）。Folge / Reihe konvergiert gegen L（数列・級数が L に収束する）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 convergere（一点に向かう）< con-（共に）+ vergere（傾く）","exampleDe":"Die Folge aₙ = 1/n konvergiert gegen 0 für n → ∞.","exampleJa":"数列 aₙ = 1/n は n → ∞ のとき 0 に収束する。","exampleEn":"The sequence aₙ = 1/n converges to 0 as n → ∞."},{"id":"mathematik_039","word":"stetig","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"連続な","translationEn":"continuous","usageNotes":"eine stetige Funktion（連続な関数）。名詞形: die Stetigkeit。gleichmäßig stetig（一様連続）と区別することがある。","synonyms":["kontinuierlich"],"etymology":"古高ドイツ語 steti（常に存在する）< stets（常に）。「途切れることなく続く」性質を表す。","exampleDe":"Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt.","exampleJa":"すべての微分可能な関数は連続であるが、逆は成り立たない。","exampleEn":"Every differentiable function is continuous, but the converse is not true."},{"id":"mathematik_040","word":"differenzierbar","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"微分可能な","translationEn":"differentiable","usageNotes":"eine differenzierbare Funktion（微分可能な関数）。an einem Punkt differenzierbar（ある点で微分可能）。名詞形: die Differenzierbarkeit。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 differentia（違い）+ -ierbar（可能を表す接尾辞）。「差分化できる」の意。","exampleDe":"Die Funktion |x| ist im Ursprung nicht differenzierbar.","exampleJa":"関数 |x| は原点で微分可能ではない。","exampleEn":"The function |x| is not differentiable at the origin."},{"id":"mathematik_041","word":"linear","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"線形の、一次の","translationEn":"linear","usageNotes":"lineare Gleichung（一次方程式）、lineare Abbildung（線形写像）、linearer Ausdruck（一次式）。非線形は nichtlinear。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 linearis（線に関する）< linea（線）< linum（亜麻・糸）","exampleDe":"Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + b und ihr Graph ist eine Gerade.","exampleJa":"線形関数は f(x) = mx + b の形をしており、そのグラフは直線である。","exampleEn":"A linear function has the form f(x) = mx + b and its graph is a straight line."},{"id":"mathematik_042","word":"quadratisch","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"二次の、正方形の","translationEn":"quadratic, square","usageNotes":"quadratische Gleichung（二次方程式）、quadratische Funktion（二次関数）。quadratische Matrix（正方行列）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 quadratus（四角にされた）< quadrus（四角）< quattuor（4）","exampleDe":"Die allgemeine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 wird mit der Lösungsformel gelöst.","exampleJa":"一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 は解の公式を用いて解かれる。","exampleEn":"The general quadratic equation ax² + bx + c = 0 is solved using the quadratic formula."},{"id":"mathematik_043","word":"konvex","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"凸の","translationEn":"convex","usageNotes":"konvexe Funktion（凸関数）、konvexe Menge（凸集合）。対義語: konkav（凹）。eine konvexe Funktion: f''(x) ≥ 0 で特徴付けられる。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 convexus（丸く盛り上がった）< con-（共に）+ vehere（運ぶ）","exampleDe":"Eine Funktion ist konvex, wenn ihr Graph überall unterhalb jeder Sekante liegt.","exampleJa":"関数のグラフがすべての割線の下方にある場合、その関数は凸である。","exampleEn":"A function is convex if its graph lies below every secant line."},{"id":"mathematik_044","word":"endlich","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"有限の","translationEn":"finite","usageNotes":"endliche Menge（有限集合）、endliche Gruppe（有限群）。対義語: unendlich（無限の）。|M| < ∞ で表記。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Ende（終わり）+ -lich（形容詞化接尾辞）。「終わりのある」= 有限。","exampleDe":"Eine endliche Menge hat eine bestimmte, zählbare Anzahl von Elementen.","exampleJa":"有限集合は確定した数えられる個数の要素を持つ。","exampleEn":"A finite set has a definite, countable number of elements."},{"id":"mathematik_045","word":"das Theorem","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"定理","translationEn":"theorem","usageNotes":"der Satz とほぼ同義だが、Theorem はより格式高い・基本的な命題に使う傾向がある。ein Theorem beweisen（定理を証明する）。","synonyms":["der Satz"],"etymology":"ギリシャ語 theorema（考察されたもの）< theorein（観察する）< thea（見ること）","exampleDe":"Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt.","exampleJa":"代数学の基本定理は、すべての非定数多項式が少なくとも1つの複素数の零点を持つと述べている。","exampleEn":"The fundamental theorem of algebra states that every non-constant polynomial has at least one complex root."},{"id":"mathematik_046","word":"der Beweis","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"証明","translationEn":"proof","usageNotes":"einen Beweis führen（証明を行う）。Beweis durch Widerspruch（背理法）、vollständige Induktion（数学的帰納法）などの証明手法がある。","synonyms":["der Nachweis"],"etymology":"ドイツ語 beweisen（証明する）の名詞形。古高ドイツ語 wisan（示す）に由来。","exampleDe":"Ein mathematischer Beweis muss lückenlos und logisch korrekt sein.","exampleJa":"数学的証明は抜けなく論理的に正確でなければならない。","exampleEn":"A mathematical proof must be complete and logically correct."},{"id":"mathematik_047","word":"die Folge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"数列","translationEn":"sequence","usageNotes":"（aₙ）または a₁, a₂, a₃, ... と表記。arithmetische Folge（等差数列）、geometrische Folge（等比数列）。die Reihe（級数）は Folge の部分和。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 folgen（続く・従う）の名詞形。「続くもの」= 数列。","exampleDe":"Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn aₙ₊₁ ≥ aₙ für alle n gilt.","exampleJa":"すべての n に対して aₙ₊₁ ≥ aₙ が成り立つとき、数列は単調増加という。","exampleEn":"A sequence is called monotonically increasing if aₙ₊₁ ≥ aₙ holds for all n."},{"id":"mathematik_048","word":"der Vektorraum","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"ベクトル空間","translationEn":"vector space","usageNotes":"線形空間（linearer Raum）とも言う。スカラー体（Körper）上で定義される。Basis（基底）、Dimension（次元）が重要概念。","synonyms":["der lineare Raum"],"etymology":"ドイツ語 Vektor（ベクトル）+ Raum（空間）の合成語。","exampleDe":"Der Vektorraum ℝⁿ hat die Dimension n.","exampleJa":"ベクトル空間 ℝⁿ の次元は n である。","exampleEn":"The vector space ℝⁿ has dimension n."},{"id":"mathematik_049","word":"die Basis","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"基底","translationEn":"basis","usageNotes":"複数形: die Basen。Standardbasis（標準基底）。Basisvektoren（基底ベクトル）は線形独立（linear unabhängig）かつ生成系（Erzeugendensystem）をなす。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 basis（踏み台・土台）< bainein（歩く）。数学では「ベクトル空間の土台をなすもの」。","exampleDe":"Jeder Vektor im Vektorraum lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.","exampleJa":"ベクトル空間の各ベクトルは基底ベクトルの線形結合として一意に表せる。","exampleEn":"Every vector in a vector space can be uniquely expressed as a linear combination of the basis vectors."},{"id":"mathematik_050","word":"die Determinante","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"行列式","translationEn":"determinant","usageNotes":"det(A) または |A| で表記。det(A) ≠ 0 ⟺ A は正則行列（invertierbare Matrix）。体積の拡大率を表す幾何学的意味を持つ。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 determinare（限定する）< de-（完全に）+ terminus（境界）","exampleDe":"Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.","exampleJa":"正方行列が逆行列を持つのは、その行列式が0でないときに限る。","exampleEn":"A square matrix is invertible if and only if its determinant is nonzero."},{"id":"mathematik_051","word":"der Eigenwert","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"固有値","translationEn":"eigenvalue","usageNotes":"Av = λv を満たすスカラー λ。Eigenvektor（固有ベクトル）と対応。charakteristisches Polynom（固有多項式）det(A - λI) = 0 で求める。","synonyms":["der charakteristische Wert"],"etymology":"ドイツ語 eigen（固有の・自分自身の）+ Wert（値）。英語 eigenvalue もドイツ語からの借用語。","exampleDe":"Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind stets reell.","exampleJa":"対称行列の固有値は常に実数である。","exampleEn":"The eigenvalues of a symmetric matrix are always real."},{"id":"mathematik_052","word":"das Differential","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"微分","translationEn":"differential","usageNotes":"df = f'(x)dx という形式で表記。totales Differential（全微分）、partielles Differential（偏微分）と区別する。微分幾何学や物理学でも広く使用。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 differentia（差）+ -al（形容詞・名詞化接尾辞）< differre（運び離す）","exampleDe":"Das totale Differential df gibt den linearen Hauptteil der Änderung von f an.","exampleJa":"全微分 df は f の変化の線形主要部を与える。","exampleEn":"The total differential df gives the linear principal part of the change in f."},{"id":"mathematik_053","word":"das Polynom","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"多項式","translationEn":"polynomial","usageNotes":"Grad（次数）で分類: Monom（単項式）、Binom（二項式）、Trinom（三項式）。Nullstelle（零点）、Koeffizient（係数）が重要概念。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 poly-（多）+ nomos（名前・規則）< nemo（分配する）。「多くの項を持つもの」。","exampleDe":"Ein Polynom n-ten Grades hat über ℂ genau n Nullstellen, gezählt mit Vielfachheit.","exampleJa":"n次多項式はℂ上において重複度を込めてちょうどn個の零点を持つ。","exampleEn":"A polynomial of degree n has exactly n roots over ℂ, counted with multiplicity."},{"id":"mathematik_054","word":"die Nullstelle","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"零点、根","translationEn":"root, zero","usageNotes":"f(x₀) = 0 を満たす x₀。einfache Nullstelle（単純零点）と mehrfache Nullstelle（重零点）を区別する。","synonyms":["die Wurzel des Polynoms"],"etymology":"ドイツ語 null（0）+ Stelle（場所・点）。「関数の値が0になる場所」。","exampleDe":"Die Nullstellen des Polynoms x² - 4 sind x = 2 und x = -2.","exampleJa":"多項式 x² - 4 の零点は x = 2 と x = -2 である。","exampleEn":"The roots of the polynomial x² - 4 are x = 2 and x = -2."},{"id":"mathematik_055","word":"das Skalarprodukt","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"スカラー積、内積","translationEn":"scalar product, dot product","usageNotes":"⟨a, b⟩ または a·b で表記。|a||b|cos θ（θ は2ベクトルのなす角）。直交条件: ⟨a, b⟩ = 0。","synonyms":["das Punktprodukt","das innere Produkt"],"etymology":"スカラー(Skalar)はラテン語 scalaris（はしご状の）< scala（はしご）。「大きさのみを持つ数との積」のイメージ。","exampleDe":"Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist gleich null.","exampleJa":"直交する2つのベクトルのスカラー積は0である。","exampleEn":"The scalar product of two orthogonal vectors is zero."},{"id":"mathematik_056","word":"die Gruppe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"群","translationEn":"group","usageNotes":"集合 G と演算 * からなる代数的構造。群の公理: 閉包性・結合性・単位元の存在・逆元の存在。Abelsche Gruppe（アーベル群）は可換群。","synonyms":[],"etymology":"フランス語 groupe（集まり）経由。数学的群の概念はエヴァリスト・ガロアが19世紀に確立。","exampleDe":"Die ganzen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe.","exampleJa":"整数は加法に関してアーベル群を成す。","exampleEn":"The integers form an abelian group under addition."},{"id":"mathematik_057","word":"der Ring","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"環","translationEn":"ring","usageNotes":"加法に関してアーベル群、乗法に関してモノイドをなす代数的構造。kommutativer Ring（可換環）、Integritätsring（整域）など。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Ring（輪・環）。数学的には「加法と乗法の二つの演算が輪のように絡み合う」構造を指す。","exampleDe":"Die ganzen Zahlen ℤ bilden einen kommutativen Ring mit Einselement.","exampleJa":"整数 ℤ は単位元を持つ可換環を成す。","exampleEn":"The integers ℤ form a commutative ring with unity."},{"id":"mathematik_058","word":"der Körper","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"体（たい）","translationEn":"field","usageNotes":"0以外のすべての元が逆元を持つ可換環。ℚ（有理数体）、ℝ（実数体）、ℂ（複素数体）が代表例。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Körper（体・本体）。「数学の基本的な本体をなす構造」という意味で使われる。","exampleDe":"Der Körper der rationalen Zahlen ℚ ist der kleinste Körper mit Charakteristik 0.","exampleJa":"有理数体 ℚ は標数0の最小の体である。","exampleEn":"The field of rational numbers ℚ is the smallest field of characteristic 0."},{"id":"mathematik_059","word":"die komplexe Zahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"複素数","translationEn":"complex number","usageNotes":"z = a + bi（a: Realteil「実部」、b: Imaginärteil「虚部」）。|z|（Betrag「絶対値」）、arg(z)（Argument「偏角」）。ℂ で表記。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 complexus（絡み合った）< complecti（抱える）。実数と虚数が「絡み合う」数。","exampleDe":"Eine komplexe Zahl z = a + bi hat den Betrag |z| = √(a² + b²).","exampleJa":"複素数 z = a + bi の絶対値は |z| = √(a² + b²) である。","exampleEn":"A complex number z = a + bi has the absolute value |z| = √(a² + b²)."},{"id":"mathematik_060","word":"die Potenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"累乗、べき乗","translationEn":"power, exponentiation","usageNotes":"aⁿ（底 Basis a、指数 Exponent n）。Potenzgesetze（べき乗則）: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ など。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 potentia（力・能力）< potens（力のある）。「繰り返し掛け合わせる力」のイメージ。","exampleDe":"Die Potenz 2⁸ entspricht dem Wert 256.","exampleJa":"2⁸ は 256 に相当する。","exampleEn":"The power 2⁸ equals the value 256."},{"id":"mathematik_061","word":"die Wurzel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"根号、平方根","translationEn":"root, square root","usageNotes":"√a（平方根）、ⁿ√a（n乗根）。Quadratwurzel（平方根）、Kubikwurzel（立方根）など。Nullstelle の意味でも使う（文脈による）。","synonyms":[],"etymology":"古高ドイツ語 wurzala（根・起源）。植物の「根」と同語源で「数の根本」のイメージ。","exampleDe":"Die Quadratwurzel aus 16 ist 4, da 4² = 16.","exampleJa":"4² = 16 なので、16の平方根は4である。","exampleEn":"The square root of 16 is 4, since 4² = 16."},{"id":"mathematik_062","word":"der Logarithmus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"対数","translationEn":"logarithm","usageNotes":"log_a(x)（底 a の x の対数）。natürlicher Logarithmus（自然対数）ln x = log_e x。Logarithmengesetze（対数法則）。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 logos（比・割合）+ arithmos（数）。ジョン・ネイピアが1614年に命名。","exampleDe":"Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e^x.","exampleJa":"自然対数 ln(x) は指数関数 e^x の逆関数である。","exampleEn":"The natural logarithm ln(x) is the inverse function of the exponential function e^x."},{"id":"mathematik_063","word":"die Exponentialfunktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"指数関数","translationEn":"exponential function","usageNotes":"f(x) = eˣ が標準形。Wachstum（増加）のモデルに使用。Exponentialwachstum（指数的成長）、Exponentialzerfall（指数的減衰）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 exponere（外に出す・展開する）+ Funktion（関数）","exampleDe":"Die Exponentialfunktion e^x ist ihre eigene Ableitung.","exampleJa":"指数関数 e^x は自分自身の導関数である。","exampleEn":"The exponential function e^x is its own derivative."},{"id":"mathematik_064","word":"die trigonometrische Funktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"三角関数","translationEn":"trigonometric function","usageNotes":"sin（Sinus）、cos（Kosinus）、tan（Tangens）が基本。周期関数（periodische Funktion）。単位円（Einheitskreis）を用いて定義。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 trigonon（三角形）+ metron（測り）+ ラテン語 functio（働き）","exampleDe":"Für alle Winkel x gilt die Identität sin²(x) + cos²(x) = 1.","exampleJa":"すべての角度 x に対して、恒等式 sin²(x) + cos²(x) = 1 が成り立つ。","exampleEn":"For all angles x, the identity sin²(x) + cos²(x) = 1 holds."},{"id":"mathematik_065","word":"das Kreuzprodukt","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"クロス積、外積","translationEn":"cross product","usageNotes":"a × b で表記。ℝ³ においてのみ定義。結果は両ベクトルに垂直なベクトル。|a × b| = |a||b|sin θ。","synonyms":["das Vektorprodukt","das äußere Produkt"],"etymology":"ドイツ語 Kreuz（十字・交差）+ Produkt（積）。2つのベクトルが「交差する」ことから命名。","exampleDe":"Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren.","exampleJa":"2つのベクトルのクロス積は両方の元のベクトルに垂直である。","exampleEn":"The cross product of two vectors is perpendicular to both original vectors."},{"id":"mathematik_066","word":"die Statistik","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"統計（学）","translationEn":"statistics","usageNotes":"deskriptive Statistik（記述統計）と schließende / inferenzielle Statistik（推測統計）を区別。Stichprobe（標本）、Grundgesamtheit（母集団）が基本概念。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 statisticus（国家に関する）< status（状態）。元々は「国家のデータを収集する科学」。","exampleDe":"Die deskriptive Statistik fasst Datensätze mit Kennzahlen wie Mittelwert und Standardabweichung zusammen.","exampleJa":"記述統計は平均や標準偏差などの指標でデータセットをまとめる。","exampleEn":"Descriptive statistics summarizes data sets using measures such as the mean and standard deviation."},{"id":"mathematik_067","word":"die Standardabweichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"標準偏差","translationEn":"standard deviation","usageNotes":"σ（母標準偏差）または s（標本標準偏差）で表記。分散（Varianz）の正の平方根。データの散らばりを測る指標。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Standard（基準）+ Abweichung（偏差）< abweichen（逸れる）","exampleDe":"Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Daten eng um den Mittelwert gestreut sind.","exampleJa":"標準偏差が小さいということは、データが平均値の周りに密集していることを意味する。","exampleEn":"A small standard deviation means that the data are closely clustered around the mean."},{"id":"mathematik_068","word":"der Kreis","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"円","translationEn":"circle","usageNotes":"Mittelpunkt M(a, b) と Radius r の円: (x-a)² + (y-b)² = r²。Kreisumfang（円周）= 2πr、Kreisfläche（円の面積）= πr²。","synonyms":[],"etymology":"古高ドイツ語 chreiz（円・輪）。英語 circle と同様にラテン語 circus（輪・競技場）に由来する可能性がある。","exampleDe":"Die Gleichung x² + y² = r² beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius r.","exampleJa":"方程式 x² + y² = r² は原点を中心とする半径 r の円を表す。","exampleEn":"The equation x² + y² = r² describes a circle with center at the origin and radius r."},{"id":"mathematik_069","word":"die Kurve","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"曲線","translationEn":"curve","usageNotes":"parametrische Kurve（パラメトリック曲線）は (x(t), y(t)) で表記。ebene Kurve（平面曲線）と Raumkurve（空間曲線）を区別。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 curvus（曲がった）。英語 curve と同語源。","exampleDe":"Die Kurve, die durch f(x) = sin(x) gegeben ist, ist periodisch und oszilliert zwischen -1 und 1.","exampleJa":"f(x) = sin(x) によって与えられる曲線は周期的で -1 と 1 の間を振動する。","exampleEn":"The curve given by f(x) = sin(x) is periodic and oscillates between -1 and 1."},{"id":"mathematik_070","word":"das Dreieck","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"三角形","translationEn":"triangle","usageNotes":"gleichseitiges Dreieck（正三角形）、gleichschenkliges Dreieck（二等辺三角形）、rechtwinkliges Dreieck（直角三角形）。面積 = ½·g·h。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 drei（3）+ Eck（角）。「3つの角を持つ形」。","exampleDe":"Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: a² + b² = c².","exampleJa":"直角三角形においてピタゴラスの定理 a² + b² = c² が成り立つ。","exampleEn":"In a right triangle, the Pythagorean theorem holds: a² + b² = c²."},{"id":"mathematik_071","word":"der Gradient","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"勾配","translationEn":"gradient","usageNotes":"∇f（ナブラ）で表記。スカラー関数の最大増加方向を指すベクトル。∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。最適化でよく使用。","synonyms":["das Gefälle"],"etymology":"ラテン語 gradus（歩み・段階）。「関数の傾き（上り坂）」のイメージ。","exampleDe":"Der Gradient eines Skalarfeldes zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs.","exampleJa":"スカラー場の勾配は最も急な上昇方向を指す。","exampleEn":"The gradient of a scalar field points in the direction of steepest ascent."},{"id":"mathematik_072","word":"die Permutation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"順列、置換","translationEn":"permutation","usageNotes":"n 個のものの順列の数: n!（n の階乗）。対称群 Sₙ の元。組み合わせ（Kombination）と対比。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 permutare（完全に入れ替える）< per-（完全に）+ mutare（変える）","exampleDe":"Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen beträgt n! (n Fakultät).","exampleJa":"n 個の異なる要素の順列の数は n!（n の階乗）である。","exampleEn":"The number of permutations of n distinct elements is n! (n factorial)."},{"id":"mathematik_073","word":"die Kombination","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"組み合わせ","translationEn":"combination","usageNotes":"C(n, k) または (n über k)（二項係数）で表記。C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)。順序を考慮しない選び方。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 combinare（2つをまとめる）< com-（共に）+ bini（2つずつ）","exampleDe":"Der Binomialkoeffizient (n über k) gibt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge an.","exampleJa":"二項係数 (n über k) は n 要素集合の k 要素部分集合の個数を表す。","exampleEn":"The binomial coefficient (n over k) gives the number of k-element subsets of an n-element set."},{"id":"mathematik_074","word":"der Isomorphismus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"同型写像","translationEn":"isomorphism","usageNotes":"代数的構造を保つ全単射写像。isomorph（同型の）という形容詞と対応。A ≅ B（A と B は同型）。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 isos（等しい）+ morphe（形）+ -ismos（名詞化）。「形が等しい写像」。","exampleDe":"Zwei Gruppen, zwischen denen ein Isomorphismus existiert, haben dieselbe algebraische Struktur.","exampleJa":"同型写像が存在する2つの群は同じ代数的構造を持つ。","exampleEn":"Two groups between which an isomorphism exists have the same algebraic structure."},{"id":"mathematik_075","word":"divergieren","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"発散する","translationEn":"to diverge","usageNotes":"対義語: konvergieren（収束する）。eine Reihe divergiert（級数が発散する）。発散の判定: Divergenzkriterium（発散判定法）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 divergere（分かれて離れる）< dis-（離れて）+ vergere（傾く）","exampleDe":"Die harmonische Reihe ∑ 1/n divergiert, obwohl ihre Glieder gegen null gehen.","exampleJa":"調和級数 ∑ 1/n は各項が0に近づくにもかかわらず発散する。","exampleEn":"The harmonic series ∑ 1/n diverges even though its terms tend to zero."},{"id":"mathematik_076","word":"die Induktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"帰納法","translationEn":"induction","usageNotes":"vollständige Induktion（完全帰納法・数学的帰納法）。Induktionsanfang（基底）と Induktionsschritt（帰納段階）の2段階からなる。","synonyms":["die vollständige Induktion"],"etymology":"ラテン語 inductio（導入・誘導）< inducere（導く）< in-（中へ）+ ducere（引く）","exampleDe":"Durch vollständige Induktion lässt sich zeigen, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen n(n+1)/2 beträgt.","exampleJa":"数学的帰納法により、最初の n 個の自然数の和が n(n+1)/2 であることを示せる。","exampleEn":"By mathematical induction, one can show that the sum of the first n natural numbers is n(n+1)/2."},{"id":"mathematik_077","word":"die Dimension","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"次元","translationEn":"dimension","usageNotes":"ベクトル空間の基底の要素数。dim(V) と表記。0次元、1次元（直線）、2次元（平面）、3次元（空間）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 dimensio（測定）< dimetiri（測る）< di-（通じて）+ metiri（測る）","exampleDe":"Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Elemente einer Basis.","exampleJa":"ベクトル空間の次元はある基底の要素数である。","exampleEn":"The dimension of a vector space is the number of elements in a basis."},{"id":"mathematik_078","word":"die Abbildung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"写像","translationEn":"mapping, map","usageNotes":"f: A → B という形式。injektiv（単射）、surjektiv（全射）、bijektiv（全単射）の3種類に分類。die Funktion（関数）より一般的な語。","synonyms":["die Funktion","die Abbildungsfunktion"],"etymology":"ドイツ語 ab-（から）+ bilden（形作る）+ -ung（名詞化）。「形を写し取る」のイメージ。","exampleDe":"Eine bijektive Abbildung besitzt eine eindeutige Umkehrabbildung.","exampleJa":"全単射な写像は唯一の逆写像を持つ。","exampleEn":"A bijective mapping has a unique inverse mapping."},{"id":"mathematik_079","word":"der Mittelwert","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"平均値","translationEn":"mean, average","usageNotes":"arithmetisches Mittel（算術平均）= (x₁ + ... + xₙ)/n。geometrisches Mittel（幾何平均）、harmonisches Mittel（調和平均）も存在。","synonyms":["der Durchschnitt"],"etymology":"ドイツ語 Mitte（中央）+ Wert（値）。「中央の値」を意味する合成語。","exampleDe":"Der arithmetische Mittelwert der Zahlen 2, 4, 6 und 8 beträgt 5.","exampleJa":"2, 4, 6, 8 の算術平均は5である。","exampleEn":"The arithmetic mean of the numbers 2, 4, 6, and 8 is 5."},{"id":"mathematik_080","word":"der Beweis durch Widerspruch","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"背理法","translationEn":"proof by contradiction","usageNotes":"Reductio ad absurdum とも言う。命題の否定を仮定し矛盾を導くことで命題を証明する手法。indirekter Beweis（間接証明）とも。","synonyms":["der indirekte Beweis","die Reductio ad absurdum"],"etymology":"ドイツ語 Widerspruch（矛盾）< wider-（反対に）+ sprechen（語る）。「自己矛盾を言う」= 矛盾。","exampleDe":"Der Beweis, dass √2 irrational ist, wird klassisch durch Widerspruch geführt.","exampleJa":"√2 が無理数であることの証明は、古典的に背理法を用いて行われる。","exampleEn":"The proof that √2 is irrational is classically carried out by contradiction."},{"id":"mathematik_081","word":"die natürliche Zahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"自然数","translationEn":"natural number","usageNotes":"複数形: die natürlichen Zahlen。記号 ℕ で表す。0 を含む（ℕ₀）か含まないかは流儀による。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 naturalis（自然の）< natura（自然）。「自然に数えられる数」の意。","exampleDe":"Die natürlichen Zahlen bilden die Grundlage des Zählens und der Arithmetik.","exampleJa":"自然数は数えることと算術の基礎をなす。","exampleEn":"The natural numbers form the foundation of counting and arithmetic."},{"id":"mathematik_082","word":"die ganze Zahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"整数","translationEn":"integer","usageNotes":"複数形: die ganzen Zahlen。記号 ℤ（ドイツ語 Zahl の頭文字）で表す。正の整数・0・負の整数を含む。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 ganz（全体の・完全な）< 古高ドイツ語 ganz（完全な）。「端数のない数」の意。","exampleDe":"Die Menge der ganzen Zahlen ℤ umfasst alle positiven und negativen ganzen Zahlen sowie die Null.","exampleJa":"整数の集合 ℤ は、すべての正の整数・負の整数および0を含む。","exampleEn":"The set of integers ℤ includes all positive and negative whole numbers as well as zero."},{"id":"mathematik_083","word":"die rationale Zahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"有理数","translationEn":"rational number","usageNotes":"複数形: die rationalen Zahlen。記号 ℚ（quotient の頭文字）で表す。p/q（p, q ∈ ℤ, q ≠ 0）の形で表せる数。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 rationalis（比に基づく）< ratio（比・割合）。「比として表せる数」の意。","exampleDe":"Jede rationale Zahl lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen.","exampleJa":"すべての有理数は2つの整数の分数として表すことができる。","exampleEn":"Every rational number can be expressed as a fraction of two integers."},{"id":"mathematik_084","word":"die irrationale Zahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"無理数","translationEn":"irrational number","usageNotes":"有理数でない実数。無限不循環小数。代表例：√2, π, e。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 irrationalis（比で表せない）< in-（否定）+ ratio（比）。古代ギリシャ語 ἄλογος（logos のない）に対応。","exampleDe":"Die Zahl π ist eine irrationale Zahl und kann nicht als Bruch dargestellt werden.","exampleJa":"円周率 π は無理数であり、分数として表すことができない。","exampleEn":"The number π is an irrational number and cannot be expressed as a fraction."},{"id":"mathematik_085","word":"die reelle Zahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"実数","translationEn":"real number","usageNotes":"複数形: die reellen Zahlen。記号 ℝ で表す。有理数と無理数を合わせた数の集合。複素数（ℂ）の部分集合でもある。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 realis（実在する）< res（もの・実体）。虚数（imaginär）との対比で「実在する数」の意。","exampleDe":"Jede reelle Zahl lässt sich auf der Zahlengeraden als Punkt darstellen.","exampleJa":"すべての実数は数直線上の点として表すことができる。","exampleEn":"Every real number can be represented as a point on the number line."},{"id":"mathematik_086","word":"der Algorithmus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"アルゴリズム","translationEn":"algorithm","usageNotes":"複数形: die Algorithmen。einen Algorithmus entwerfen（アルゴリズムを設計する）。計算量・効率を表す大O記法（O-Notation）と合わせて使う。","synonyms":["das Verfahren","die Rechenvorschrift"],"etymology":"9世紀のペルシャの数学者 al-Khwārizmī（アル＝フワーリズミー）の名前のラテン語転写 Algoritmi から。","exampleDe":"Der euklidische Algorithmus berechnet effizient den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen.","exampleJa":"ユークリッドのアルゴリズムは2つの数の最大公約数を効率よく求める。","exampleEn":"The Euclidean algorithm efficiently computes the greatest common divisor of two numbers."},{"id":"mathematik_087","word":"die Primfaktorzerlegung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"素因数分解","translationEn":"prime factorization","usageNotes":"eine Zahl in Primfaktoren zerlegen（数を素因数に分解する）。算術の基本定理（Fundamentalsatz der Arithmetik）により一意に定まる。","synonyms":["die Primzerlegung"],"etymology":"Prim（素数の）+ Faktor（因数）+ Zerlegung（分解）の合成語。","exampleDe":"Die Primfaktorzerlegung von 60 lautet 2² × 3 × 5.","exampleJa":"60の素因数分解は 2² × 3 × 5 である。","exampleEn":"The prime factorization of 60 is 2² × 3 × 5."},{"id":"mathematik_088","word":"teilerfremd","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"互いに素（の）","translationEn":"coprime, relatively prime","usageNotes":"zwei Zahlen sind teilerfremd（2つの数は互いに素である）。ggT(a, b) = 1 と同値。","synonyms":["relativ prim"],"etymology":"Teiler（約数）+ fremd（縁のない）の合成語。「共通の約数を持たない」の意。","exampleDe":"Die Zahlen 8 und 9 sind teilerfremd, da ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist.","exampleJa":"8と9は最大公約数が1なので互いに素である。","exampleEn":"The numbers 8 and 9 are coprime, as their greatest common divisor is 1."},{"id":"mathematik_089","word":"der größte gemeinsame Teiler","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"最大公約数","translationEn":"greatest common divisor","usageNotes":"略称 ggT。英語では GCD または GCF。ggT(a, b) と表記。ユークリッドのアルゴリズムで効率よく求められる。","synonyms":["der ggT"],"etymology":"größte（最大の）+ gemeinsame（共通の）+ Teiler（約数）の合成語。","exampleDe":"Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 ist 6.","exampleJa":"12と18の最大公約数は6である。","exampleEn":"The greatest common divisor of 12 and 18 is 6."},{"id":"mathematik_090","word":"das kleinste gemeinsame Vielfache","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"最小公倍数","translationEn":"least common multiple","usageNotes":"略称 kgV。英語では LCM。kgV(a, b) = (a × b) / ggT(a, b) の関係が成り立つ。","synonyms":["das kgV"],"etymology":"kleinste（最小の）+ gemeinsame（共通の）+ Vielfache（倍数）の合成語。","exampleDe":"Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist 12.","exampleJa":"4と6の最小公倍数は12である。","exampleEn":"The least common multiple of 4 and 6 is 12."},{"id":"mathematik_091","word":"die Teilbarkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"整除性、割り切れること","translationEn":"divisibility","usageNotes":"Teilbarkeitsregeln（整除規則）：例えば「10の倍数は末尾が0」など。a | b（a は b を割り切る）と表記。","synonyms":[],"etymology":"teilbar（割り切れる）+ -keit（性質を表す接尾辞）。teilbar は teilen（分ける）の形容詞形。","exampleDe":"Die Teilbarkeit durch 3 lässt sich anhand der Quersumme der Zahl prüfen.","exampleJa":"3による整除性は、各桁の数字の和（横和）で確かめることができる。","exampleEn":"Divisibility by 3 can be checked by summing the digits of the number."},{"id":"mathematik_092","word":"der Rest","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"余り（除算の）","translationEn":"remainder","usageNotes":"整数の割り算における余り。a = q × b + r（0 ≤ r < b）の r。Modulo-Rechnung（剰余算）で用いる。","synonyms":["der Divisionsrest"],"etymology":"ラテン語 restare（残る）< re-（再び）+ stare（立つ）。「残ったもの」の意。","exampleDe":"17 geteilt durch 5 ergibt 3 Rest 2.","exampleJa":"17を5で割ると商3、余り2になる。","exampleEn":"17 divided by 5 gives 3 with a remainder of 2."},{"id":"mathematik_093","word":"die Kongruenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"合同（数論における）","translationEn":"congruence","usageNotes":"a ≡ b (mod m)（a は m を法として b と合同）と表記。幾何学の「合同（図形の）」にも同じ語を使う。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 congruentia（一致）< congruere（一致する・合う）。","exampleDe":"17 ≡ 2 (mod 5), da beide denselben Rest bei Division durch 5 lassen.","exampleJa":"17 ≡ 2 (mod 5)。どちらも5で割った余りが2だからである。","exampleEn":"17 ≡ 2 (mod 5) because both leave the same remainder when divided by 5."},{"id":"mathematik_094","word":"das Modulo","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"剰余（法）、モジュロ","translationEn":"modulo","usageNotes":"「mod m」と表記。a mod m は a を m で割った余りを返す演算。プログラミングでも % 演算子として広く使われる。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 modulus（小さな尺度）< modus（尺度・様式）の縮小形。","exampleDe":"In der Kryptografie spielt die Modulo-Arithmetik eine zentrale Rolle.","exampleJa":"暗号理論において剰余演算は中心的な役割を果たす。","exampleEn":"Modular arithmetic plays a central role in cryptography."},{"id":"mathematik_095","word":"die Restklasse","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"剰余類","translationEn":"residue class","usageNotes":"mod m で同じ余りを持つ整数の集合。ℤ/mℤ（mod m の整数環）を構成する。[a]_m と表記することが多い。","synonyms":["die Äquivalenzklasse modulo m"],"etymology":"Rest（余り）+ Klasse（クラス）の合成語。","exampleDe":"Die Restklassen modulo 3 sind {…, −3, 0, 3, …}, {…, −2, 1, 4, …} und {…, −1, 2, 5, …}.","exampleJa":"mod 3 の剰余類は {…, −3, 0, 3, …}、{…, −2, 1, 4, …}、{…, −1, 2, 5, …} の3つである。","exampleEn":"The residue classes modulo 3 are {…, −3, 0, 3, …}, {…, −2, 1, 4, …}, and {…, −1, 2, 5, …}."},{"id":"mathematik_096","word":"die Summe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"和、合計","translationEn":"sum","usageNotes":"die Summe berechnen（和を求める）。Σ（シグマ記号）で総和を表す。Summand（加数）の加算結果。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 summa（最高・合計）< summus（最上の）< super（上に）。","exampleDe":"Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen beträgt n(n+1)/2.","exampleJa":"最初のn個の自然数の和は n(n+1)/2 である。","exampleEn":"The sum of the first n natural numbers is n(n+1)/2."},{"id":"mathematik_097","word":"die Differenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"差","translationEn":"difference","usageNotes":"die Differenz aus a und b（a と b の差）。減算（Subtraktion）の結果。集合の差集合（Mengendifferenz）にも用いる。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 differentia（違い）< differre（異なる）< dis-（離れて）+ ferre（運ぶ）。","exampleDe":"Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist immer eine ungerade Zahl.","exampleJa":"連続する2つの平方数の差は常に奇数である。","exampleEn":"The difference between two consecutive square numbers is always an odd number."},{"id":"mathematik_098","word":"das Produkt","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"積","translationEn":"product","usageNotes":"乗算（Multiplikation）の結果。Π（パイ記号）で総乗を表す。das Skalarprodukt（内積）などの合成語にも使われる。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 productum（生み出されたもの）< producere（前に引き出す）。","exampleDe":"Das Produkt zweier negativer Zahlen ist stets positiv.","exampleJa":"2つの負の数の積は常に正である。","exampleEn":"The product of two negative numbers is always positive."},{"id":"mathematik_099","word":"der Quotient","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"商","translationEn":"quotient","usageNotes":"除算（Division）の結果。a ÷ b の結果が商。Quotientenraum（商空間）などの代数的概念にも使われる。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 quotiens（何度、いくらか）< quot（いくつ）。「何回割れるか」の意。","exampleDe":"Der Quotient von 15 und 3 ist 5.","exampleJa":"15を3で割った商は5である。","exampleEn":"The quotient of 15 and 3 is 5."},{"id":"mathematik_100","word":"der Faktor","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"因数、因子","translationEn":"factor","usageNotes":"乗算における各数。eine Zahl in Faktoren zerlegen（数を因数に分解する）。Primfaktor（素因数）、Skalierungsfaktor（スケール因子）など合成語多数。","synonyms":["der Divisor","der Teiler"],"etymology":"ラテン語 factor（作るもの）< facere（作る・成す）。","exampleDe":"In dem Produkt 6 × 7 = 42 sind 6 und 7 die Faktoren.","exampleJa":"積 6 × 7 = 42 において、6と7が因数である。","exampleEn":"In the product 6 × 7 = 42, the numbers 6 and 7 are the factors."},{"id":"mathematik_101","word":"das Axiom","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"公理","translationEn":"axiom","usageNotes":"証明なしに真とみなされる基本的な命題。ein Axiom aufstellen（公理を設ける）。Axiomensystem（公理系）。ペアノの公理（Peano-Axiome）など。","synonyms":["das Grundpostulat"],"etymology":"古代ギリシャ語 ἀξίωμα（価値あるもの・自明なもの）< ἀξιόω（価値を認める）< ἄξιος（値する）。","exampleDe":"Die Peano-Axiome definieren die natürlichen Zahlen auf formaler Grundlage.","exampleJa":"ペアノの公理は自然数を形式的な基盤の上に定義する。","exampleEn":"The Peano axioms define the natural numbers on a formal basis."},{"id":"mathematik_102","word":"das Lemma","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"補題","translationEn":"lemma","usageNotes":"より大きな定理を証明するための補助的な命題。複数形: die Lemmata または die Lemmas。ツォルンの補題（Zornsches Lemma）など固有名詞にも登場。","synonyms":["der Hilfssatz"],"etymology":"古代ギリシャ語 λῆμμα（取ったもの・前提）< λαμβάνειν（取る）。","exampleDe":"Das Lemma von Bézout besagt, dass ggT(a,b) als ganzzahlige Linearkombination von a und b darstellbar ist.","exampleJa":"ベズーの補題は、ggT(a,b) が a と b の整数係数の線形結合として表せることを述べる。","exampleEn":"Bézout's lemma states that ggT(a,b) can be expressed as an integer linear combination of a and b."},{"id":"mathematik_103","word":"das Korollar","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"系（けい）、推論","translationEn":"corollary","usageNotes":"定理から直接導かれる結論。複数形: die Korollare。証明がほぼ自明であるような補足的命題。","synonyms":["der Folgesatz","die Folgerung"],"etymology":"ラテン語 corollarium（花の冠・贈り物）< corolla（小さな花輪）< corona（冠）。主定理への「おまけ」の意。","exampleDe":"Als Korollar des Fundamentalsatzes der Arithmetik folgt die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.","exampleJa":"算術の基本定理の系として、素因数分解の一意性が導かれる。","exampleEn":"As a corollary of the fundamental theorem of arithmetic, the uniqueness of prime factorization follows."},{"id":"mathematik_104","word":"die Aussage","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"命題、主張","translationEn":"statement, proposition","usageNotes":"真（wahr）か偽（falsch）かを判定できる文。論理学・証明論の基本単位。eine Aussage beweisen（命題を証明する）。","synonyms":["die Proposition","der Satz"],"etymology":"aussagen（述べる）の名詞形。aus-（外へ）+ sagen（言う）。「述べたこと」の意。","exampleDe":"Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch, ein drittes gibt es nicht.","exampleJa":"数学的命題は真か偽のどちらかであり、第三の値はない（排中律）。","exampleEn":"A mathematical statement is either true or false; there is no third option."},{"id":"mathematik_105","word":"die Implikation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"含意（「ならば」）","translationEn":"implication","usageNotes":"A ⇒ B（A ならば B）と表記。A を前件（Prämisse）、B を後件（Konklusion）と呼ぶ。真理値表で定義される。","synonyms":["die Wenn-dann-Verbindung"],"etymology":"ラテン語 implicatio（絡み合い）< implicare（巻き込む）< in-（中に）+ plicare（折る）。","exampleDe":"Die Implikation A ⇒ B ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.","exampleJa":"含意 A ⇒ B が偽になるのは、A が真で B が偽のときに限る。","exampleEn":"The implication A ⇒ B is false exactly when A is true and B is false."},{"id":"mathematik_106","word":"die Äquivalenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"同値、同値関係","translationEn":"equivalence","usageNotes":"A ⟺ B（A と B は同値）と表記。A ⇒ B かつ B ⇒ A のとき成立。同値関係（Äquivalenzrelation）は反射律・対称律・推移律を満たす。","synonyms":["die Bikonditionale"],"etymology":"ラテン語 aequivalentia（等価）< aequus（等しい）+ valere（値する）。","exampleDe":"Zwei Mengen sind äquivalent, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.","exampleJa":"2つの集合の間に全単射が存在するとき、その2つの集合は同値である。","exampleEn":"Two sets are equivalent if there exists a bijection between them."},{"id":"mathematik_107","word":"die Negation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"否定","translationEn":"negation","usageNotes":"¬A または ¬P と表記。「A でない」。二重否定 ¬(¬A) = A が成立。ド・モルガンの法則と組み合わせてよく使う。","synonyms":["die Verneinung"],"etymology":"ラテン語 negatio（否定）< negare（否定する）< ne-（否）+ aio（言う）。","exampleDe":"Die Negation der Aussage 'alle Primzahlen sind ungerade' lautet 'mindestens eine Primzahl ist gerade'.","exampleJa":"「すべての素数は奇数である」の否定は「少なくとも1つの素数は偶数である」となる。","exampleEn":"The negation of 'all prime numbers are odd' is 'at least one prime number is even'."},{"id":"mathematik_108","word":"die Konjunktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"連言（「かつ」）","translationEn":"conjunction","usageNotes":"A ∧ B と表記。「A かつ B」。A, B がともに真のときのみ真。プログラミングの AND 演算に対応。","synonyms":["das logische Und"],"etymology":"ラテン語 coniunctio（結合）< coniungere（つなぐ）< con-（共に）+ iungere（結ぶ）。","exampleDe":"Die Konjunktion A ∧ B ist wahr, genau wenn sowohl A als auch B wahr sind.","exampleJa":"連言 A ∧ B は、A も B もともに真であるときに限り真となる。","exampleEn":"The conjunction A ∧ B is true exactly when both A and B are true."},{"id":"mathematik_109","word":"die Disjunktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"選言（「または」）","translationEn":"disjunction","usageNotes":"A ∨ B と表記。「A または B（あるいは両方）」。A, B の少なくとも一方が真のとき真。排他的論理和（XOR）とは異なる。","synonyms":["das logische Oder"],"etymology":"ラテン語 disiunctio（分離）< disiungere（引き離す）< dis-（離れて）+ iungere（結ぶ）。","exampleDe":"Die Disjunktion A ∨ B ist falsch, genau wenn sowohl A als auch B falsch sind.","exampleJa":"選言 A ∨ B が偽になるのは、A も B もともに偽であるときに限る。","exampleEn":"The disjunction A ∨ B is false exactly when both A and B are false."},{"id":"mathematik_110","word":"der Quantor","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"量化子","translationEn":"quantifier","usageNotes":"全称量化子（Allquantor）∀（すべての）と存在量化子（Existenzquantor）∃（ある…が存在する）の2種類が基本。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 quantus（どれだけ）+ -or（行為者を示す接尾辞）。","exampleDe":"Der Allquantor ∀ bedeutet 'für alle', der Existenzquantor ∃ bedeutet 'es gibt ein'.","exampleJa":"全称量化子 ∀ は「すべての」を意味し、存在量化子 ∃ は「ある…が存在する」を意味する。","exampleEn":"The universal quantifier ∀ means 'for all', and the existential quantifier ∃ means 'there exists'."},{"id":"mathematik_111","word":"die vollständige Induktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"数学的帰納法","translationEn":"mathematical induction","usageNotes":"Induktionsanfang（基底：n=1 の場合を証明）と Induktionsschritt（帰納段階：n → n+1 を証明）の2段階からなる。","synonyms":["die mathematische Induktion"],"etymology":"vollständig（完全な）+ Induktion（帰納）。ラテン語 inductio（導くこと）< inducere（導く）。","exampleDe":"Mit vollständiger Induktion lässt sich beweisen, dass 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 für alle n ∈ ℕ gilt.","exampleJa":"数学的帰納法により、すべての n ∈ ℕ に対して 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 が成立することを証明できる。","exampleEn":"By mathematical induction, one can prove that 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 holds for all n ∈ ℕ."},{"id":"mathematik_112","word":"das Gegenbeispiel","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"反例","translationEn":"counterexample","usageNotes":"全称命題「すべての A は B である」を反証するための例。ein Gegenbeispiel finden（反例を見つける）。1つの反例があれば全称命題は偽になる。","synonyms":["das Gegenargument"],"etymology":"gegen（反対の）+ Beispiel（例）の合成語。","exampleDe":"Ein Gegenbeispiel genügt, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.","exampleJa":"一般的な主張を反証するには1つの反例で十分である。","exampleEn":"A single counterexample is sufficient to disprove a general claim."},{"id":"mathematik_113","word":"die Abzählbarkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"可算性","translationEn":"countability","usageNotes":"abzählbar（可算）は自然数と全単射が存在する集合に言う。überabzählbar（非可算）は実数の集合など。カントールの対角線論法で証明される。","synonyms":[],"etymology":"abzählen（数え上げる）の名詞形 + -keit。ab-（完全に）+ zählen（数える）。","exampleDe":"Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, die Menge der reellen Zahlen jedoch nicht.","exampleJa":"有理数の集合は可算であるが、実数の集合は非可算である。","exampleEn":"The set of rational numbers is countable, but the set of real numbers is not."},{"id":"mathematik_114","word":"die Bijektion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"全単射","translationEn":"bijection","usageNotes":"単射（injektiv）かつ全射（surjektiv）な写像。bijektiv（全単射の）という形容詞形もよく使う。逆写像（Umkehrabbildung）が存在する条件。","synonyms":["die umkehrbar eindeutige Abbildung"],"etymology":"フランス語 bijection。bi-（2つの）+ ject（投げる）。定義域と値域を「双方向に」対応させることから。","exampleDe":"Eine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen beweist, dass diese gleich viele Elemente haben.","exampleJa":"2つの有限集合の間の全単射は、それらが同じ要素数を持つことを証明する。","exampleEn":"A bijection between two finite sets proves that they have the same number of elements."},{"id":"mathematik_115","word":"die Injektion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"単射","translationEn":"injection","usageNotes":"異なる要素が異なる要素に写る写像。injektiv（単射の）という形容詞形で使うことが多い。f(a) = f(b) ⇒ a = b が成立。","synonyms":["die injektive Abbildung","die eineindeutige Abbildung"],"etymology":"ラテン語 iniectio（投入）< inicere（中に投げ込む）。写像が定義域を「中に」埋め込むイメージ。","exampleDe":"Eine injektive Abbildung bildet verschiedene Elemente stets auf verschiedene Elemente ab.","exampleJa":"単射は常に異なる要素を異なる要素に写す。","exampleEn":"An injective map always sends distinct elements to distinct elements."},{"id":"mathematik_116","word":"die Surjektion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"全射","translationEn":"surjection","usageNotes":"値域のすべての要素に対して写像の行き先となる定義域の要素が存在する写像。surjektiv（全射の）という形容詞形で使うことが多い。","synonyms":["die surjektive Abbildung"],"etymology":"フランス語 surjection。sur-（上に・超えて）+ jection（投射）。値域の「すべてをカバー」するイメージ。","exampleDe":"Eine Abbildung ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat.","exampleJa":"目標集合のすべての要素が少なくとも1つの逆像を持つとき、写像は全射である。","exampleEn":"A map is surjective when every element of the codomain has at least one preimage."},{"id":"mathematik_117","word":"die Relation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"関係","translationEn":"relation","usageNotes":"集合 A × B の部分集合として定義される。Äquivalenzrelation（同値関係）、Ordnungsrelation（順序関係）など種類が多い。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 relatio（関係・報告）< referre（持ち戻す）< re-（戻る）+ ferre（運ぶ）。","exampleDe":"Die 'kleiner als'-Relation auf den natürlichen Zahlen ist transitiv, aber nicht symmetrisch.","exampleJa":"自然数上の「小なり」関係は推移的であるが対称的ではない。","exampleEn":"The 'less than' relation on the natural numbers is transitive but not symmetric."},{"id":"mathematik_118","word":"die Äquivalenzrelation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"同値関係","translationEn":"equivalence relation","usageNotes":"反射律（reflexiv）・対称律（symmetrisch）・推移律（transitiv）の3条件を満たす2項関係。同値類（Äquivalenzklasse）に集合を分割する。","synonyms":[],"etymology":"Äquivalenz（同値）+ Relation（関係）の合成語。","exampleDe":"Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen.","exampleJa":"mod m による合同は整数上の同値関係である。","exampleEn":"Congruence modulo m is an equivalence relation on the integers."},{"id":"mathematik_119","word":"gerade","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"偶数の","translationEn":"even","usageNotes":"eine gerade Zahl（偶数）。2 で割り切れる整数。ungerade（奇数の）の対義語。数学的定義：n = 2k（k ∈ ℤ）と表せる整数。","synonyms":[],"etymology":"古高ドイツ語 garad（整えられた・均等な）。「均等に分けられる」から偶数の意味に。","exampleDe":"Eine ganze Zahl ist gerade, wenn sie ohne Rest durch 2 teilbar ist.","exampleJa":"余りなく2で割り切れる整数が偶数である。","exampleEn":"An integer is even if it is divisible by 2 without remainder."},{"id":"mathematik_120","word":"ungerade","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"奇数の","translationEn":"odd","usageNotes":"eine ungerade Zahl（奇数）。2 で割り切れない整数。gerade（偶数の）の対義語。数学的定義：n = 2k+1（k ∈ ℤ）と表せる整数。","synonyms":[],"etymology":"un-（否定）+ gerade（偶数の）。「均等に分けられない」の意。","exampleDe":"Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist stets ungerade.","exampleJa":"奇数の平方は常に奇数である。","exampleEn":"The square of an odd number is always odd."},{"id":"mathematik_121","word":"die Zahlentheorie","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"数論","translationEn":"number theory","usageNotes":"整数の性質を研究する数学の分野。初等数論（elementare Zahlentheorie）と解析的数論（analytische Zahlentheorie）に大別される。","synonyms":["die Arithmetik（古典的用語）"],"etymology":"Zahl（数）+ Theorie（理論）の合成語。Theorie はギリシャ語 θεωρία（観察・考察）に由来。","exampleDe":"Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen.","exampleJa":"数論は整数の性質を扱う学問分野である。","exampleEn":"Number theory deals with the properties of integers."},{"id":"mathematik_122","word":"die Mengenlehre","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"集合論","translationEn":"set theory","usageNotes":"カントール（Cantor）によって創始された数学の基礎分野。現代数学の共通言語として機能する。ZFC 公理系（Zermelo-Fraenkel + 選択公理）が標準的。","synonyms":[],"etymology":"Menge（集合）+ Lehre（学問・理論）の合成語。Lehre は lehren（教える）の名詞形。","exampleDe":"Die Mengenlehre bildet die formale Grundlage der modernen Mathematik.","exampleJa":"集合論は現代数学の形式的な基礎をなす。","exampleEn":"Set theory forms the formal foundation of modern mathematics."},{"id":"mathematik_123","word":"die Kardinalzahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"濃度（基数）","translationEn":"cardinal number","usageNotes":"集合の「大きさ」を表す数。有限集合では要素数と一致。無限集合では ℵ₀（アレフ・ゼロ）など超限基数を用いる。","synonyms":["die Mächtigkeit"],"etymology":"ラテン語 cardinalis（主要な・基本的な）< cardo（心棒）。「基本となる数」の意。","exampleDe":"Die Kardinalzahl der natürlichen Zahlen ist ℵ₀, die der reellen Zahlen ist 2^ℵ₀.","exampleJa":"自然数の濃度は ℵ₀ であり、実数の濃度は 2^ℵ₀ である。","exampleEn":"The cardinality of the natural numbers is ℵ₀, and that of the real numbers is 2^ℵ₀."},{"id":"mathematik_124","word":"die Ordinalzahl","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"順序数","translationEn":"ordinal number","usageNotes":"整列集合の「順序型」を表す数。有限の場合は自然数と一致するが、無限の場合は ω, ω+1, … と続く超限順序数が存在する。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 ordinalis（順序の）< ordo（順序）。「順番を表す数」の意。","exampleDe":"Die Ordinalzahl ω repräsentiert die Ordnung der natürlichen Zahlen in ihrer Standardreihenfolge.","exampleJa":"順序数 ω は自然数の標準的な順序型を表す。","exampleEn":"The ordinal number ω represents the order type of the natural numbers in their standard order."},{"id":"mathematik_125","word":"die Mächtigkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"濃度（集合の大きさ）","translationEn":"cardinality","usageNotes":"集合 A の濃度を |A| または #A と表記。有限集合では要素の個数。カントールの定理により |A| < |P(A)|（P(A) は冪集合）。","synonyms":["die Kardinalzahl"],"etymology":"mächtig（強力な・大きな）< Macht（力・権力）の形容詞形に -keit を付けた語。集合の「大きさの力」を表す比喩。","exampleDe":"Zwei Mengen haben dieselbe Mächtigkeit, wenn zwischen ihnen eine Bijektion existiert.","exampleJa":"2つの集合の間に全単射が存在するとき、それらは同じ濃度を持つ。","exampleEn":"Two sets have the same cardinality if there exists a bijection between them."},{"id":"mathematik_126","word":"die Potenzmenge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"冪集合","translationEn":"power set","usageNotes":"集合 A のすべての部分集合を要素とする集合。P(A) または 2^A と表記。|A| = n のとき |P(A)| = 2^n。","synonyms":[],"etymology":"Potenz（冪）+ Menge（集合）の合成語。n 要素集合の部分集合が 2ⁿ 個あることから「2の冪」に由来。","exampleDe":"Die Potenzmenge von {a, b} ist { ∅, {a}, {b}, {a, b} }.","exampleJa":"{a, b} の冪集合は { ∅, {a}, {b}, {a, b} } である。","exampleEn":"The power set of {a, b} is { ∅, {a}, {b}, {a, b} }."},{"id":"mathematik_127","word":"die leere Menge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"空集合","translationEn":"empty set","usageNotes":"要素を1つも持たない集合。∅ または {} と表記。任意の集合の部分集合であるという性質を持つ。","synonyms":["die Nullmenge"],"etymology":"leer（空の）+ Menge（集合）の合成語。","exampleDe":"Die leere Menge ∅ ist eine Teilmenge jeder Menge.","exampleJa":"空集合 ∅ はすべての集合の部分集合である。","exampleEn":"The empty set ∅ is a subset of every set."},{"id":"mathematik_128","word":"das Element","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"元（げん）、要素","translationEn":"element","usageNotes":"集合に属する個々のもの。a ∈ A（a は A の元）と表記。∉ は「属さない」。Element は日常語としても「要素」の意で使われる。","synonyms":["das Mitglied（口語的）"],"etymology":"ラテン語 elementum（基本的な構成要素・文字）。語源不詳だが、ギリシャ語の基本4元素（土・水・火・空気）に由来するとも。","exampleDe":"3 ist ein Element der Menge der natürlichen Zahlen, da 3 ∈ ℕ.","exampleJa":"3 ∈ ℕ であるから、3は自然数の集合の元である。","exampleEn":"3 is an element of the set of natural numbers since 3 ∈ ℕ."},{"id":"mathematik_129","word":"der Satz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"基本概念・数論","translationJa":"定理","translationEn":"theorem","usageNotes":"証明された数学的命題。einen Satz beweisen（定理を証明する）。das Theorem とほぼ同義だが、Satz はより広く一般に使われる。","synonyms":["das Theorem"],"etymology":"setzen（置く・定める）の名詞形。「定められた命題」の意。","exampleDe":"Der Satz des Pythagoras gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke.","exampleJa":"ピタゴラスの定理はすべての直角三角形に成立する。","exampleEn":"The theorem of Pythagoras holds for all right-angled triangles."},{"id":"mathematik_130","word":"die Ungleichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"不等式","translationEn":"inequality","usageNotes":"記号 <, >, ≤, ≥ を用いて2つの式の大小関係を表す。線形不等式（lineare Ungleichung）、二次不等式（quadratische Ungleichung）など。両辺に負数を掛けると不等号の向きが逆転する点に注意。","synonyms":[],"etymology":"Un-（否定接頭辞）+ Gleichung（方程式）。「等しくない式」の意。","exampleDe":"Die Lösung der Ungleichung 2x − 3 > 5 ist die Menge aller x mit x > 4.","exampleJa":"不等式 2x − 3 > 5 の解は x > 4 を満たすすべての x の集合である。","exampleEn":"The solution of the inequality 2x − 3 > 5 is the set of all x with x > 4."},{"id":"mathematik_131","word":"lösen","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"（方程式を）解く、解を求める","translationEn":"to solve","usageNotes":"+Akkusativ。eine Gleichung lösen（方程式を解く）。規則動詞。","synonyms":["auflösen"],"etymology":"古高ドイツ語 lōsen（解放する）< ゲルマン祖語 *lausijaną。英語 release と同根。","exampleDe":"Um die quadratische Gleichung zu lösen, wendet man die Lösungsformel an.","exampleJa":"二次方程式を解くには解の公式を適用する。","exampleEn":"To solve the quadratic equation, one applies the quadratic formula."},{"id":"mathematik_132","word":"die Lösung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"解、解答","translationEn":"solution","usageNotes":"die Lösungsmenge（解集合）、die allgemeine Lösung（一般解）、die partikuläre Lösung（特殊解）という派生表現が重要。複数形: die Lösungen。","synonyms":["die Wurzel（方程式の根として）"],"etymology":"lösen（解く）の名詞形。ラテン語 solutio と対応。","exampleDe":"Die Gleichung x² = 4 hat zwei Lösungen: x = 2 und x = −2.","exampleJa":"方程式 x² = 4 は2つの解 x = 2 と x = −2 を持つ。","exampleEn":"The equation x² = 4 has two solutions: x = 2 and x = −2."},{"id":"mathematik_133","word":"die Lösungsformel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"解の公式","translationEn":"quadratic formula, solution formula","usageNotes":"二次方程式 ax² + bx + c = 0 の解の公式 x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a を指すことが多い。die quadratische Lösungsformel とも言う。","synonyms":["die quadratische Formel"],"etymology":"Lösung（解）+ Formel（公式）の複合語。","exampleDe":"Mithilfe der Lösungsformel berechnet man die Nullstellen eines quadratischen Polynoms.","exampleJa":"解の公式を使って二次多項式の零点を計算する。","exampleEn":"Using the solution formula, one calculates the roots of a quadratic polynomial."},{"id":"mathematik_134","word":"die Diskriminante","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"判別式","translationEn":"discriminant","usageNotes":"二次方程式 ax² + bx + c = 0 において D = b² − 4ac。D > 0 なら実数解2つ、D = 0 なら重解、D < 0 なら実数解なし（複素数解2つ）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 discriminare（区別する）< discrimen（区分、境界）< discernere（分ける）。","exampleDe":"Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen.","exampleJa":"判別式が負のとき、方程式は実数解を持たない。","exampleEn":"If the discriminant is negative, the equation has no real solutions."},{"id":"mathematik_135","word":"faktorisieren","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"因数分解する","translationEn":"to factorize, to factor","usageNotes":"+Akkusativ。ein Polynom faktorisieren（多項式を因数分解する）。規則動詞。faktorisieren = in Faktoren zerlegen（因数に分解する）。","synonyms":["in Faktoren zerlegen"],"etymology":"Faktor（因子）+ -isieren（動詞化接尾辞）。Faktor はラテン語 factor（作るもの）< facere（作る）。","exampleDe":"Man kann x² − 5x + 6 als (x − 2)(x − 3) faktorisieren.","exampleJa":"x² − 5x + 6 は (x − 2)(x − 3) と因数分解できる。","exampleEn":"One can factorize x² − 5x + 6 as (x − 2)(x − 3)."},{"id":"mathematik_136","word":"das Monom","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"単項式","translationEn":"monomial","usageNotes":"1つの項からなる多項式。例: 3x², −5xy, 7。次数（der Grad）と係数（der Koeffizient）で特徴づけられる。複数形: die Monome。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 monos（単一の）+ nōmos（法則、部分）。「一つの項」の意。","exampleDe":"Das Produkt zweier Monome ist wieder ein Monom.","exampleJa":"2つの単項式の積はまた単項式である。","exampleEn":"The product of two monomials is again a monomial."},{"id":"mathematik_137","word":"das Binom","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"二項式","translationEn":"binomial","usageNotes":"2項からなる多項式。例: a + b、x − 2。binomische Formeln（二項公式）: (a+b)² = a²+2ab+b²、(a−b)² = a²−2ab+b²、(a+b)(a−b) = a²−b²。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 bi-（2）+ nomen（名前、項）。「2つの項を持つもの」の意。","exampleDe":"Die binomischen Formeln erlauben es, Quadrate von Binomen schnell zu berechnen.","exampleJa":"二項公式を使うと二項式の二乗を素早く計算できる。","exampleEn":"The binomial formulas allow one to quickly calculate squares of binomials."},{"id":"mathematik_138","word":"die binomische Formel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"二項公式","translationEn":"binomial formula","usageNotes":"3つの公式: (a+b)² = a²+2ab+b²（第1公式）、(a−b)² = a²−2ab+b²（第2公式）、(a+b)(a−b) = a²−b²（第3公式）。","synonyms":[],"etymology":"binomisch（二項の）+ Formel（公式）。","exampleDe":"Mit der dritten binomischen Formel gilt: (x+3)(x−3) = x² − 9.","exampleJa":"第3の二項公式より (x+3)(x−3) = x² − 9 が成立する。","exampleEn":"By the third binomial formula: (x+3)(x−3) = x² − 9."},{"id":"mathematik_139","word":"der Grad","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"（多項式の）次数","translationEn":"degree","usageNotes":"多項式の文脈では最高次の指数を指す。Grad des Polynoms（多項式の次数）。例: 3x⁴ + x² − 1 は4次（Grad 4）。角度の「度」も同じ語。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 gradus（段階、歩み）< gradi（歩く）。英語 degree と同根。","exampleDe":"Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen.","exampleJa":"n 次多項式は最大 n 個の実数零点を持つ。","exampleEn":"A polynomial of degree n has at most n real roots."},{"id":"mathematik_140","word":"die quadratische Gleichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"二次方程式","translationEn":"quadratic equation","usageNotes":"標準形: ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。解の公式・因数分解・平方完成（quadratische Ergänzung）の3種の解法がある。","synonyms":[],"etymology":"quadratisch（正方形の、二乗の）+ Gleichung（方程式）。quadratisch はラテン語 quadratus（四角い）< quattuor（4）。","exampleDe":"Jede quadratische Gleichung lässt sich durch quadratische Ergänzung lösen.","exampleJa":"すべての二次方程式は平方完成によって解くことができる。","exampleEn":"Every quadratic equation can be solved by completing the square."},{"id":"mathematik_141","word":"die quadratische Ergänzung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"平方完成","translationEn":"completing the square","usageNotes":"ax² + bx + c を a(x + b/2a)² + (c − b²/4a) の形に変形する手法。頂点の座標を求めたり、解の公式を導出するのに用いる。","synonyms":[],"etymology":"quadratisch（二乗の）+ Ergänzung（補完、追加）。「二乗の形を完成させる」の意。","exampleDe":"Durch quadratische Ergänzung erhält man die Scheitelpunktform der Parabel.","exampleJa":"平方完成により放物線の頂点形式が得られる。","exampleEn":"By completing the square, one obtains the vertex form of the parabola."},{"id":"mathematik_142","word":"die lineare Gleichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"一次方程式、線形方程式","translationEn":"linear equation","usageNotes":"最高次が1次の方程式 ax + b = 0（a ≠ 0）。複数変数の場合は線形方程式系（das lineare Gleichungssystem）を形成する。","synonyms":[],"etymology":"linear（線形の）+ Gleichung（方程式）。linear はラテン語 linearis（線の）< linea（線）。","exampleDe":"Ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten kann mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens gelöst werden.","exampleJa":"n 個の未知数を持つ連立一次方程式はガウスの消去法で解くことができる。","exampleEn":"A system of linear equations with n unknowns can be solved using Gaussian elimination."},{"id":"mathematik_143","word":"das Gleichungssystem","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"連立方程式","translationEn":"system of equations","usageNotes":"複数の方程式からなる組。das lineare Gleichungssystem（連立一次方程式）が最も基本的。行列形式 Ax = b で表現される。","synonyms":["das lineare Gleichungssystem"],"etymology":"Gleichung（方程式）+ System（系）の複合語。","exampleDe":"Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist.","exampleJa":"係数行列が可逆のとき、連立方程式はちょうど1つの解を持つ。","exampleEn":"The system of equations has exactly one solution when the coefficient matrix is invertible."},{"id":"mathematik_144","word":"die Substitution","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"置換、代入（法）","translationEn":"substitution","usageNotes":"連立方程式の解法の一つ。一方の変数を他の式で表して代入する。積分計算でも変数置換（Substitutionsregel）として現れる。","synonyms":["die Einsetzungsmethode"],"etymology":"ラテン語 substitutio（代わりに置くこと）< substituere（代わりに置く）< sub-（下に）+ statuere（置く）。","exampleDe":"Bei der Substitutionsmethode setzt man eine Variable durch einen Ausdruck der anderen aus.","exampleJa":"置換法では一方の変数を他の変数の式で置き換える。","exampleEn":"In the substitution method, one variable is replaced by an expression of the other."},{"id":"mathematik_145","word":"die Elimination","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"消去法","translationEn":"elimination","usageNotes":"連立方程式において2式を加減して変数を消去する方法。ガウスの消去法（das Gaußsche Eliminationsverfahren）は行列の行基本変形と対応する。","synonyms":["das Eliminationsverfahren"],"etymology":"ラテン語 eliminare（敷居の外へ追い出す）< e-（外へ）+ limen（敷居）。","exampleDe":"Das Gaußsche Eliminationsverfahren überführt eine Matrix in Zeilenstufenform.","exampleJa":"ガウスの消去法は行列を行階段形式に変換する。","exampleEn":"Gaussian elimination transforms a matrix into row echelon form."},{"id":"mathematik_146","word":"der Parameter","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"パラメータ、媒介変数","translationEn":"parameter","usageNotes":"変数と異なり、特定の文脈で固定された値を取る量。パラメータ表示（die Parameterdarstellung）では曲線や直線を媒介変数 t で表す。","synonyms":["die Parameterdarstellung（名詞句として）"],"etymology":"ギリシャ語 para-（隣に）+ metron（測る）。「傍らで測るもの」の意。","exampleDe":"Der Parameter a bestimmt die Steigung der Geraden y = ax + b.","exampleJa":"パラメータ a が直線 y = ax + b の傾きを決める。","exampleEn":"The parameter a determines the slope of the line y = ax + b."},{"id":"mathematik_147","word":"die Parabel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"放物線","translationEn":"parabola","usageNotes":"二次関数 y = ax² + bx + c のグラフ。a > 0 なら上に凸、a < 0 なら下に凸。頂点（der Scheitelpunkt）と対称軸（die Symmetrieachse）が重要な特徴。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 parabolē（比較、投げ合わせ）< para-（隣に）+ ballein（投げる）。円錐曲線の一種としてアポロニウスが命名。","exampleDe":"Die Parabel y = x² − 4 schneidet die x-Achse bei x = 2 und x = −2.","exampleJa":"放物線 y = x² − 4 は x 軸と x = 2 および x = −2 で交わる。","exampleEn":"The parabola y = x² − 4 intersects the x-axis at x = 2 and x = −2."},{"id":"mathematik_148","word":"die Hyperbel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"双曲線","translationEn":"hyperbola","usageNotes":"標準形: x²/a² − y²/b² = 1。反比例 y = k/x のグラフは直角双曲線（die rechtwinklige Hyperbel）。漸近線（die Asymptote）を持つ。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 hyperbolē（過剰な投げ）< hyper-（超えて）+ ballein（投げる）。円錐を底面と大きな角度で切った曲線。","exampleDe":"Der Graph der Funktion f(x) = 1/x ist eine rechtwinklige Hyperbel mit den Asymptoten x = 0 und y = 0.","exampleJa":"関数 f(x) = 1/x のグラフは漸近線 x = 0 と y = 0 を持つ直角双曲線である。","exampleEn":"The graph of the function f(x) = 1/x is a rectangular hyperbola with asymptotes x = 0 and y = 0."},{"id":"mathematik_149","word":"die Asymptote","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"漸近線","translationEn":"asymptote","usageNotes":"関数のグラフが無限遠で近づく直線または曲線。水平漸近線（horizontale Asymptote）、垂直漸近線（vertikale Asymptote）、斜め漸近線（schräge Asymptote）がある。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 asymptōtos（交わらない）< a-（否定）+ sympiptein（一致する）< syn-（共に）+ piptein（落ちる）。","exampleDe":"Die Funktion f(x) = (x² + 1)/x hat die schräge Asymptote y = x.","exampleJa":"関数 f(x) = (x² + 1)/x は斜め漸近線 y = x を持つ。","exampleEn":"The function f(x) = (x² + 1)/x has the oblique asymptote y = x."},{"id":"mathematik_150","word":"die Geradengleichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"直線の方程式","translationEn":"equation of a line","usageNotes":"様々な形式がある。傾き截片形: y = mx + b。点傾き形: y − y₀ = m(x − x₀)。一般形: ax + by + c = 0。","synonyms":[],"etymology":"Gerade（直線）+ Gleichung（方程式）の複合語。","exampleDe":"Die Geradengleichung durch die Punkte (1, 2) und (3, 6) lautet y = 2x.","exampleJa":"点 (1, 2) と (3, 6) を通る直線の方程式は y = 2x である。","exampleEn":"The equation of the line through the points (1, 2) and (3, 6) is y = 2x."},{"id":"mathematik_151","word":"die Steigung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"傾き（勾配）","translationEn":"slope, gradient","usageNotes":"直線 y = mx + b における m。2点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) から m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) で求める。","synonyms":["der Anstieg","die Neigung"],"etymology":"steigen（上る）の名詞形。古高ドイツ語 stīgan（上る、登る）< ゲルマン祖語 *stīganą。","exampleDe":"Eine Steigung von m = 2 bedeutet, dass y um 2 zunimmt, wenn x um 1 steigt.","exampleJa":"傾き m = 2 は x が 1 増えると y が 2 増えることを意味する。","exampleEn":"A slope of m = 2 means that y increases by 2 when x increases by 1."},{"id":"mathematik_152","word":"der Schnittpunkt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"交点","translationEn":"intersection point","usageNotes":"2つのグラフや曲線が交わる点。y 軸との交点は der y-Achsenabschnitt（y 切片）。連立方程式を解くことで求める。","synonyms":[],"etymology":"schneiden（切る）+ Punkt（点）。「切り合う点」の意。","exampleDe":"Der Schnittpunkt der Geraden y = 2x + 1 und y = −x + 4 liegt bei x = 1, y = 3.","exampleJa":"直線 y = 2x + 1 と y = −x + 4 の交点は x = 1, y = 3 にある。","exampleEn":"The intersection of the lines y = 2x + 1 and y = −x + 4 is at x = 1, y = 3."},{"id":"mathematik_153","word":"die exponentielle Funktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"指数関数","translationEn":"exponential function","usageNotes":"f(x) = aˣ（a > 0, a ≠ 1）。自然指数関数 f(x) = eˣ（e はネイピア数 ≈ 2.718）が基本。増加・減少の速度が変数に比例する関数。","synonyms":["die Exponentialfunktion"],"etymology":"exponentiell はラテン語 exponere（展開する）< ex-（外に）+ ponere（置く）に由来。","exampleDe":"Die Funktion f(x) = 2ˣ ist eine exponentielle Funktion mit der Basis 2.","exampleJa":"関数 f(x) = 2ˣ は底 2 の指数関数である。","exampleEn":"The function f(x) = 2ˣ is an exponential function with base 2."},{"id":"mathematik_154","word":"die Umkehrfunktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"逆関数","translationEn":"inverse function","usageNotes":"関数 f の逆関数を f⁻¹ で表す。f が全単射（bijektiv）のとき逆関数が存在する。グラフは y = x に関して対称。","synonyms":["die inverse Funktion"],"etymology":"umkehren（反転させる）+ Funktion（関数）。「反転した関数」の意。","exampleDe":"Die Umkehrfunktion von f(x) = eˣ ist f⁻¹(x) = ln(x).","exampleJa":"f(x) = eˣ の逆関数は f⁻¹(x) = ln(x) である。","exampleEn":"The inverse function of f(x) = eˣ is f⁻¹(x) = ln(x)."},{"id":"mathematik_155","word":"die Komposition","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"合成（関数の合成）","translationEn":"composition (of functions)","usageNotes":"2つの関数 f と g の合成 (g∘f)(x) = g(f(x))。記号 ∘ は Kompositionszeichen（合成記号）。一般に可換でない（非可換）。","synonyms":["die Verkettung","die Hintereinanderausführung"],"etymology":"ラテン語 compositio（組み合わせること）< componere（組み合わせる）< com-（共に）+ ponere（置く）。","exampleDe":"Die Komposition f∘g ist im Allgemeinen nicht gleich g∘f.","exampleJa":"合成 f∘g は一般に g∘f と等しくない。","exampleEn":"The composition f∘g is in general not equal to g∘f."},{"id":"mathematik_156","word":"die Untergruppe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"部分群","translationEn":"subgroup","usageNotes":"群 (G, ∗) の部分集合 H が群の公理を満たすとき、H を G の部分群という。正規部分群（die Normalteiler）は剰余群の構成に用いる。","synonyms":[],"etymology":"Unter-（下位の）+ Gruppe（群）。「群の中に含まれる群」の意。","exampleDe":"Die geraden ganzen Zahlen bilden eine Untergruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen.","exampleJa":"偶数全体は整数の加法群の部分群をなす。","exampleEn":"The even integers form a subgroup of the additive group of integers."},{"id":"mathematik_157","word":"der Homomorphismus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"準同型（写像）","translationEn":"homomorphism","usageNotes":"代数的構造を保存する写像。群準同型 φ: G → H は φ(ab) = φ(a)φ(b) を満たす。核（der Kern）と像（das Bild）が重要。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 homos（同じ）+ morphē（形）+ -ismos（接尾辞）。「同じ形を保つもの」の意。","exampleDe":"Jeder Homomorphismus φ: G → H hat einen Kern, der eine Untergruppe von G ist.","exampleJa":"すべての準同型 φ: G → H は G の部分群である核を持つ。","exampleEn":"Every homomorphism φ: G → H has a kernel which is a subgroup of G."},{"id":"mathematik_158","word":"der Kern","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"核（カーネル）","translationEn":"kernel","usageNotes":"準同型 φ: G → H の核は ker(φ) = {g ∈ G | φ(g) = e_H}。線形写像の核（零空間）は ker(A) = {x | Ax = 0}。単射 ⟺ 核が自明（{e} または {0}）。","synonyms":["das Nullraum（線形代数）"],"etymology":"古高ドイツ語 kerno（種の中心）< ゲルマン祖語 *kernô。英語 core と同根。","exampleDe":"Der Kern einer linearen Abbildung ist der Unterraum aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.","exampleJa":"線形写像の核は零ベクトルに写るすべてのベクトルの部分空間である。","exampleEn":"The kernel of a linear map is the subspace of all vectors that are mapped to the zero vector."},{"id":"mathematik_159","word":"der Normalteiler","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"正規部分群","translationEn":"normal subgroup","usageNotes":"群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、任意の g ∈ G に対して gNg⁻¹ = N が成立すること。記号: N ◁ G。商群 G/N の構成に不可欠。","synonyms":["die Normaluntergruppe"],"etymology":"normal（正規の）+ Teiler（分割するもの）。「正規に分割する部分群」の意。","exampleDe":"Ein Normalteiler N von G erlaubt die Konstruktion der Faktorgruppe G/N.","exampleJa":"G の正規部分群 N により商群 G/N が構成できる。","exampleEn":"A normal subgroup N of G allows the construction of the quotient group G/N."},{"id":"mathematik_160","word":"die Faktorgruppe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"商群（余剰群）","translationEn":"quotient group, factor group","usageNotes":"群 G と正規部分群 N による商群 G/N。元は N の左剰余類（linke Nebenklassen）。|G/N| = |G|/|N|（ラグランジュの定理）。","synonyms":["die Quotientengruppe"],"etymology":"Faktor（因子）+ Gruppe（群）。正規部分群を「因子」として割った群。","exampleDe":"Die Faktorgruppe ℤ/nℤ besteht aus den n Restklassen modulo n.","exampleJa":"商群 ℤ/nℤ は n を法とした n 個の剰余類からなる。","exampleEn":"The quotient group ℤ/nℤ consists of the n residue classes modulo n."},{"id":"mathematik_161","word":"das Ideal","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"イデアル","translationEn":"ideal","usageNotes":"環 R の部分集合 I で、I は R の加法群としての部分群であり、任意の r ∈ R, a ∈ I に対して ra, ar ∈ I を満たすもの。左イデアル・右イデアル・両側イデアルがある。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 idealis（観念の）< idea（観念）< ギリシャ語 idea（形、観念）。クンマーが「理想数」ideal number から命名。","exampleDe":"Die Menge aller geraden ganzen Zahlen bildet ein Ideal im Ring der ganzen Zahlen.","exampleJa":"すべての偶数の整数の集合は整数環におけるイデアルをなす。","exampleEn":"The set of all even integers forms an ideal in the ring of integers."},{"id":"mathematik_162","word":"die lineare Abbildung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"線形写像","translationEn":"linear map","usageNotes":"f(u + v) = f(u) + f(v) および f(λv) = λf(v) を満たす写像。有限次元では行列で表現できる。核（Kern）と像（Bild）が基本概念。","synonyms":["der lineare Homomorphismus","die lineare Transformation"],"etymology":"linear（線形の）+ Abbildung（写像）。","exampleDe":"Jede lineare Abbildung ℝⁿ → ℝᵐ lässt sich durch eine m×n-Matrix darstellen.","exampleJa":"すべての線形写像 ℝⁿ → ℝᵐ は m×n 行列で表現できる。","exampleEn":"Every linear map ℝⁿ → ℝᵐ can be represented by an m×n matrix."},{"id":"mathematik_163","word":"der Rang","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"階数（ランク）","translationEn":"rank","usageNotes":"行列や線形写像の像の次元数。rank(A) = dim(Bild(A))。次元定理（Dimensionssatz）: rank(A) + dim(ker(A)) = n（A は n 列の行列）。","synonyms":[],"etymology":"フランス語 rang（列、順位）< 古フランク語 *hring（輪）。英語 rank と同根。","exampleDe":"Eine n×n-Matrix ist invertierbar genau dann, wenn ihr Rang gleich n ist.","exampleJa":"n×n 行列が可逆であるのは、その階数が n に等しい場合に限る。","exampleEn":"An n×n matrix is invertible if and only if its rank equals n."},{"id":"mathematik_164","word":"die Spur","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"トレース（行列の跡）","translationEn":"trace","usageNotes":"正方行列の対角成分の和。tr(A) = Σ aᵢᵢ。性質: tr(AB) = tr(BA)、tr(A + B) = tr(A) + tr(B)。固有値の和に等しい。","synonyms":[],"etymology":"古高ドイツ語 spor（足跡）< ゲルマン祖語 *spuRō。数学では「跡」の意で使われる。","exampleDe":"Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente.","exampleJa":"行列のトレースは対角成分の和である。","exampleEn":"The trace of a matrix is the sum of its diagonal elements."},{"id":"mathematik_165","word":"die Eigenvektoren","article":null,"partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"固有ベクトル（複数形）","translationEn":"eigenvectors","usageNotes":"単数形: der Eigenvektor。正方行列 A に対して Av = λv を満たす非零ベクトル v（λ は固有値）。固有ベクトルは方向を保ったままスカラー倍される。","synonyms":[],"etymology":"eigen（固有の、自身の）+ Vektor（ベクトル）。eigen は古高ドイツ語 eigan（自分のもの）。","exampleDe":"Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind zueinander orthogonal.","exampleJa":"対称行列の固有ベクトルは互いに直交する。","exampleEn":"The eigenvectors of a symmetric matrix are mutually orthogonal."},{"id":"mathematik_166","word":"das charakteristische Polynom","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"特性多項式","translationEn":"characteristic polynomial","usageNotes":"正方行列 A の特性多項式は p(λ) = det(A − λI)。特性多項式の零点が固有値（Eigenwerte）となる。固有値を求める基本的な方法。","synonyms":["das Charakteristikum"],"etymology":"charakteristisch（特徴的な）+ Polynom（多項式）。","exampleDe":"Die Eigenwerte einer Matrix erhält man als Nullstellen des charakteristischen Polynoms.","exampleJa":"行列の固有値は特性多項式の零点として得られる。","exampleEn":"The eigenvalues of a matrix are obtained as the roots of the characteristic polynomial."},{"id":"mathematik_167","word":"diagonalisieren","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"対角化する","translationEn":"to diagonalize","usageNotes":"+Akkusativ。eine Matrix diagonalisieren（行列を対角化する）。n×n 行列が n 個の線形独立な固有ベクトルを持つとき対角化可能。P⁻¹AP = D（D は対角行列）。","synonyms":[],"etymology":"Diagonale（対角線）+ -isieren（動詞化接尾辞）。ギリシャ語 diagonios（対角の）< dia-（横切って）+ gōnia（角）。","exampleDe":"Eine symmetrische Matrix lässt sich stets durch eine orthogonale Matrix diagonalisieren.","exampleJa":"対称行列は常に直交行列によって対角化できる。","exampleEn":"A symmetric matrix can always be diagonalized by an orthogonal matrix."},{"id":"mathematik_168","word":"die orthogonale Matrix","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"直交行列","translationEn":"orthogonal matrix","usageNotes":"Aᵀ = A⁻¹ を満たす正方行列。同値条件: 列（行）ベクトルが正規直交基底をなす。det = ±1。回転・反射を表す行列はすべて直交行列。","synonyms":[],"etymology":"orthogonal（直交の）+ Matrix（行列）。ギリシャ語 orthos（直角）+ gōnia（角）。","exampleDe":"Für eine orthogonale Matrix gilt AᵀA = I, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.","exampleJa":"直交行列に対して AᵀA = I が成立する（I は単位行列）。","exampleEn":"For an orthogonal matrix, AᵀA = I, where I denotes the identity matrix."},{"id":"mathematik_169","word":"die Einheitsmatrix","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"単位行列","translationEn":"identity matrix","usageNotes":"対角成分がすべて 1、非対角成分がすべて 0 の正方行列。記号 I または Iₙ（n×n のとき）。任意の行列 A に対して AI = IA = A。","synonyms":[],"etymology":"Einheit（単位、一）+ Matrix（行列）。「単位となる行列」の意。","exampleDe":"Die Einheitsmatrix I ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.","exampleJa":"単位行列 I は行列の乗法における単位元である。","exampleEn":"The identity matrix I is the neutral element of matrix multiplication."},{"id":"mathematik_170","word":"die inverse Matrix","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"逆行列","translationEn":"inverse matrix","usageNotes":"正方行列 A に対して AA⁻¹ = A⁻¹A = I を満たす行列 A⁻¹。存在条件: det(A) ≠ 0。ガウス・ジョルダン法や余因子行列を用いて求める。","synonyms":[],"etymology":"invers（逆の）+ Matrix（行列）。ラテン語 inversus（ひっくり返した）< invertere（反転させる）。","exampleDe":"Die inverse Matrix einer 2×2-Matrix lässt sich mit der Formel A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A) berechnen.","exampleJa":"2×2 行列の逆行列は公式 A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A) で計算できる。","exampleEn":"The inverse matrix of a 2×2 matrix can be calculated using the formula A⁻¹ = (1/det(A))·adj(A)."},{"id":"mathematik_171","word":"kommutativ","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"可換な、交換法則が成り立つ","translationEn":"commutative","usageNotes":"二項演算 ∗ が可換: a ∗ b = b ∗ a が任意の a, b に対して成立。加法・乗法は実数・複素数で可換。行列の乗法は一般に非可換。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 commutare（入れ替える）< com-（共に）+ mutare（変える）。英語 commute（通勤する、交換する）と同根。","exampleDe":"Die Addition reeller Zahlen ist kommutativ: a + b = b + a für alle a, b ∈ ℝ.","exampleJa":"実数の加法は可換である：すべての a, b ∈ ℝ に対して a + b = b + a。","exampleEn":"The addition of real numbers is commutative: a + b = b + a for all a, b ∈ ℝ."},{"id":"mathematik_172","word":"assoziativ","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"結合法則が成り立つ、結合的","translationEn":"associative","usageNotes":"二項演算 ∗ が結合的: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)。実数の加法・乗法、行列の乗法、関数の合成はすべて結合的。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 associare（仲間にする）< ad-（〜に）+ socius（仲間）。","exampleDe":"Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ: (AB)C = A(BC).","exampleJa":"行列の乗法は結合的である：(AB)C = A(BC)。","exampleEn":"Matrix multiplication is associative: (AB)C = A(BC)."},{"id":"mathematik_173","word":"distributiv","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"分配法則が成り立つ、分配的","translationEn":"distributive","usageNotes":"分配法則（das Distributivgesetz）: a(b + c) = ab + ac（左分配）、(a + b)c = ac + bc（右分配）。環の公理の一つ。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 distribuere（分配する）< dis-（分けて）+ tribuere（与える）。","exampleDe":"Das Distributivgesetz gilt: a(b + c) = ab + ac für alle reellen Zahlen a, b, c.","exampleJa":"分配法則が成立する：すべての実数 a, b, c に対して a(b + c) = ab + ac。","exampleEn":"The distributive law holds: a(b + c) = ab + ac for all real numbers a, b, c."},{"id":"mathematik_174","word":"das neutrales Element","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"単位元","translationEn":"identity element, neutral element","usageNotes":"演算 ∗ に対して e ∗ a = a ∗ e = a を満たす元 e。加法の単位元は 0、乗法の単位元は 1。群の公理の一つ。唯一に存在する。","synonyms":["das Einheitselement","das Identitätselement"],"etymology":"neutral（中性の）+ Element（元、要素）。「演算において何も変えない元」の意。","exampleDe":"Das neutrale Element der Addition ist 0, da a + 0 = a für alle a gilt.","exampleJa":"加法の単位元は 0 である。すべての a に対して a + 0 = a が成立するから。","exampleEn":"The neutral element of addition is 0, since a + 0 = a for all a."},{"id":"mathematik_175","word":"das inverse Element","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"逆元","translationEn":"inverse element","usageNotes":"元 a の逆元 a⁻¹ は a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e（e は単位元）を満たす。加法の逆元は −a（反数）、乗法の逆元は 1/a（逆数）。群の公理の一つ。","synonyms":[],"etymology":"invers（逆の）+ Element（元）。「逆向きに作用する元」の意。","exampleDe":"In der additiven Gruppe der ganzen Zahlen ist das inverse Element von a gleich −a.","exampleJa":"整数の加法群において、a の逆元は −a である。","exampleEn":"In the additive group of integers, the inverse element of a is −a."},{"id":"mathematik_176","word":"die lineare Unabhängigkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"線形独立性","translationEn":"linear independence","usageNotes":"ベクトルの集合 {v₁,...,vₙ} が線形独立であるとは、λ₁v₁ + ... + λₙvₙ = 0 ⟹ λ₁ = ... = λₙ = 0 が成立すること。線形従属（lineare Abhängigkeit）は逆の概念。","synonyms":[],"etymology":"linear（線形の）+ Unabhängigkeit（独立性）。Un-（否定）+ abhängen（依存する）の名詞形。","exampleDe":"Drei Vektoren im ℝ³ sind linear unabhängig, wenn keiner von ihnen als Linearkombination der anderen darstellbar ist.","exampleJa":"ℝ³ における3つのベクトルは、どれも他のベクトルの線形結合で表せない場合に線形独立である。","exampleEn":"Three vectors in ℝ³ are linearly independent if none of them can be expressed as a linear combination of the others."},{"id":"mathematik_177","word":"die Linearkombination","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"線形結合","translationEn":"linear combination","usageNotes":"ベクトル v₁,...,vₙ とスカラー λ₁,...,λₙ による式 λ₁v₁ + ... + λₙvₙ。ベクトル空間の元はすべて基底の線形結合で一意に表される。","synonyms":[],"etymology":"linear（線形の）+ Kombination（組み合わせ）。ラテン語 combinare（組み合わせる）。","exampleDe":"Jeder Vektor im ℝ² ist eine Linearkombination der Standardbasisvektoren e₁ = (1,0) und e₂ = (0,1).","exampleJa":"ℝ² のすべてのベクトルは標準基底ベクトル e₁ = (1,0) と e₂ = (0,1) の線形結合である。","exampleEn":"Every vector in ℝ² is a linear combination of the standard basis vectors e₁ = (1,0) and e₂ = (0,1)."},{"id":"mathematik_178","word":"aufspannen","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"（部分空間を）張る、生成する","translationEn":"to span","usageNotes":"+Akkusativ。Vektoren spannen einen Raum auf（ベクトルが空間を張る）。span(v₁,...,vₙ) = {λ₁v₁ + ... + λₙvₙ | λᵢ ∈ F} がベクトルの張る部分空間。","synonyms":["erzeugen"],"etymology":"auf-（上に）+ spannen（張る）。古高ドイツ語 spannan（伸ばす）< ゲルマン祖語 *spannaną。","exampleDe":"Die Vektoren (1,0) und (0,1) spannen den gesamten ℝ² auf.","exampleJa":"ベクトル (1,0) と (0,1) は ℝ² 全体を張る。","exampleEn":"The vectors (1,0) and (0,1) span the entire ℝ²."},{"id":"mathematik_179","word":"das Skalar","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"スカラー","translationEn":"scalar","usageNotes":"大きさのみを持ち方向を持たない量。ベクトル空間において基礎となる体の元。スカラー倍（die Skalarmultiplikation）はベクトル空間の基本演算。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 scalaris（はしご状の）< scala（はしご、階段）。「数直線上の一点」という意味から。","exampleDe":"Bei der Skalarmultiplikation wird ein Vektor mit einem Skalar multipliziert, was seine Länge ändert.","exampleJa":"スカラー倍ではベクトルにスカラーを掛け合わせ、長さが変わる。","exampleEn":"In scalar multiplication, a vector is multiplied by a scalar, which changes its length."},{"id":"mathematik_180","word":"die euklidische Norm","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"ユークリッドノルム","translationEn":"Euclidean norm","usageNotes":"ベクトル v = (x₁,...,xₙ) の長さ ||v|| = √(x₁² + ... + xₙ²)。最も基本的なノルム。単位ベクトル（Einheitsvektor）は ||v|| = 1 を満たす。","synonyms":["die L²-Norm","die euklidische Länge"],"etymology":"euklidisch（ユークリッドの）< 古代ギリシャの数学者エウクレイデス（Euklid）+ Norm（基準）< ラテン語 norma（定規）。","exampleDe":"Die euklidische Norm des Vektors (3, 4) beträgt √(9 + 16) = 5.","exampleJa":"ベクトル (3, 4) のユークリッドノルムは √(9 + 16) = 5 である。","exampleEn":"The Euclidean norm of the vector (3, 4) is √(9 + 16) = 5."},{"id":"mathematik_181","word":"die euklidische Division","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"ユークリッド除法（割り算の定理）","translationEn":"Euclidean division","usageNotes":"整数 a を b（≠0）で割ったとき、a = bq + r（0 ≤ r < |b|）を満たす一意の商 q と余り r が存在する。多項式にも類似の定理が成立する。","synonyms":["der Divisionsalgorithmus"],"etymology":"euklidisch（ユークリッドの）+ Division（除算）。","exampleDe":"Nach dem Satz der euklidischen Division gilt für ganze Zahlen a und b ≠ 0: a = bq + r mit 0 ≤ r < |b|.","exampleJa":"ユークリッド除法の定理により、整数 a と b ≠ 0 に対して 0 ≤ r < |b| を満たす a = bq + r が成立する。","exampleEn":"By the theorem of Euclidean division, for integers a and b ≠ 0: a = bq + r with 0 ≤ r < |b|."},{"id":"mathematik_182","word":"der euklidische Algorithmus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"ユークリッドの互除法","translationEn":"Euclidean algorithm","usageNotes":"2つの整数の最大公約数（der größte gemeinsame Teiler, ggT）を求めるアルゴリズム。繰り返し割り算を行う: ggT(a, b) = ggT(b, a mod b)。最古かつ最も有名なアルゴリズムの一つ。","synonyms":["der euklidische Algorithmus zur Berechnung des ggT"],"etymology":"euklidisch（ユークリッドの）+ Algorithmus（アルゴリズム）。アルゴリズムはペルシャの数学者フワーリズミー（al-Khwārizmī）の名に由来。","exampleDe":"Mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt man ggT(48, 18) = ggT(18, 12) = ggT(12, 6) = ggT(6, 0) = 6.","exampleJa":"ユークリッドの互除法で ggT(48, 18) = ggT(18, 12) = ggT(12, 6) = ggT(6, 0) = 6 と求まる。","exampleEn":"Using the Euclidean algorithm: ggT(48, 18) = ggT(18, 12) = ggT(12, 6) = ggT(6, 0) = 6."},{"id":"mathematik_183","word":"der Primfaktor","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"素因数","translationEn":"prime factor","usageNotes":"自然数の素因数分解（die Primfaktorzerlegung）における素数（die Primzahl）の各因子。例: 12 = 2² × 3 の素因数は 2 と 3。算術の基本定理（Fundamentalsatz der Arithmetik）により一意に定まる。","synonyms":[],"etymology":"Prim-（素の）+ Faktor（因子）。prim はラテン語 primus（最初の）。","exampleDe":"Die Primfaktoren von 60 sind 2, 3 und 5, denn 60 = 2² · 3 · 5.","exampleJa":"60 の素因数は 2、3、5 である（60 = 2² · 3 · 5）。","exampleEn":"The prime factors of 60 are 2, 3, and 5, since 60 = 2² · 3 · 5."},{"id":"mathematik_184","word":"der Fundamentalsatz der Algebra","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"代数・方程式","translationJa":"代数学の基本定理","translationEn":"fundamental theorem of algebra","usageNotes":"n 次（n ≥ 1）の複素係数多項式は複素数の範囲で（重複度を含めて）ちょうど n 個の根を持つ。ガウスが最初の完全な証明を与えた（1799年）。","synonyms":[],"etymology":"Fundamentalsatz（基本定理）+ der Algebra（代数学の）。Fundamentalsatz はラテン語 fundamentum（基礎）+ Satz（命題）。","exampleDe":"Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom vom Grad n ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten genau n Nullstellen in ℂ.","exampleJa":"代数学の基本定理により、複素係数の n 次（n ≥ 1）多項式は ℂ においてちょうど n 個の零点を持つ。","exampleEn":"By the fundamental theorem of algebra, every polynomial of degree n ≥ 1 with complex coefficients has exactly n roots in ℂ."},{"id":"mathematik_185","word":"das Viereck","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"四角形","translationEn":"quadrilateral","usageNotes":"上位概念。Parallelogramm（平行四辺形）, Rechteck（長方形）, Quadrat（正方形）, Trapez（台形）, Rhombus（ひし形）などが含まれる。","synonyms":["das Quadrilateral","das Tetragon"],"etymology":"Vier（4）+ Eck（角）の合成語。","exampleDe":"Ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten heißt Quadrat.","exampleJa":"4つの直角と4つの等しい辺を持つ四角形を正方形という。","exampleEn":"A quadrilateral with four right angles and four equal sides is called a square."},{"id":"mathematik_186","word":"das Polygon","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"多角形","translationEn":"polygon","usageNotes":"n 角形は n-Eck とも言う。reguläres Polygon（正多角形）では全辺等長かつ全内角相等。内角の和は (n-2)·180°。","synonyms":["das Vieleck"],"etymology":"ギリシャ語 poly-（多）+ gonia（角）に由来。","exampleDe":"Ein reguläres Polygon mit n Seiten hat Innenwinkel der Größe (n-2)·180°/n.","exampleJa":"n 辺の正多角形の内角の大きさは (n-2)·180°/n である。","exampleEn":"A regular polygon with n sides has interior angles of size (n-2)·180°/n."},{"id":"mathematik_187","word":"die Ähnlichkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"相似","translationEn":"similarity","usageNotes":"記号: ~。相似変換（Ähnlichkeitsabbildung）は形を保ち大きさを変える。相似比（Ähnlichkeitsverhältnis）k により辺の長さが k 倍、面積が k² 倍になる。","synonyms":[],"etymology":"ähnlich（似た）+ -keit（名詞化接尾辞）。ähnlich はゲルマン語 *liknaz（形）に関連。","exampleDe":"Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel, aber nicht notwendig gleiche Seitenlängen.","exampleJa":"相似な三角形は同じ角を持つが、辺の長さは必ずしも等しくない。","exampleEn":"Similar triangles have equal angles but not necessarily equal side lengths."},{"id":"mathematik_188","word":"der Satz des Pythagoras","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"ピタゴラスの定理","translationEn":"Pythagorean theorem","usageNotes":"直角三角形で a² + b² = c²（c が斜辺）。逆定理（Umkehrung）も成立。一般化として余弦定理（Kosinussatz）がある。","synonyms":["der Pythagoreische Lehrsatz"],"etymology":"古代ギリシャの数学者 Pythagoras（紀元前570年頃）に由来。","exampleDe":"Nach dem Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck: a² + b² = c².","exampleJa":"ピタゴラスの定理により、すべての直角三角形で a² + b² = c² が成り立つ。","exampleEn":"According to the Pythagorean theorem, in every right triangle: a² + b² = c²."},{"id":"mathematik_189","word":"der Umfang","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"周長、周囲","translationEn":"perimeter","usageNotes":"平面図形の外周の長さ。円の場合は Kreisumfang = 2πr。多角形では全辺の和。Umfang は日常語（範囲・規模）としても使われる。","synonyms":["die Randlänge"],"etymology":"um-（周り）+ Fang（とらえること）< fangen（つかむ）。「周囲を囲む」の意。","exampleDe":"Der Umfang eines Quadrats mit Seitenlänge a beträgt 4a.","exampleJa":"一辺の長さが a の正方形の周長は 4a である。","exampleEn":"The perimeter of a square with side length a is 4a."},{"id":"mathematik_190","word":"der Mittelpunkt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"中心点、重心（中点）","translationEn":"center point, midpoint","usageNotes":"線分の中点（Mittelpunkt einer Strecke）では M = (A+B)/2。円・球の中心にも用いる。Schwerpunkt（重心）と区別することがある。","synonyms":["das Zentrum"],"etymology":"Mitte（中央）+ Punkt（点）の合成語。","exampleDe":"Der Mittelpunkt des Kreises hat den gleichen Abstand zu allen Punkten des Kreises.","exampleJa":"円の中心点は、円上のすべての点から等距離にある。","exampleEn":"The center of a circle is equidistant from all points on the circle."},{"id":"mathematik_191","word":"der Durchmesser","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"直径","translationEn":"diameter","usageNotes":"円・球において d = 2r（r は半径）。最大距離（größte Entfernung）として一般化される。記号: d または D。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 diametros（dia-「横切って」+ metron「測る」）に由来。","exampleDe":"Der Durchmesser ist die längste Sehne eines Kreises und beträgt das Doppelte des Radius.","exampleJa":"直径は円の最長の弦であり、半径の2倍に等しい。","exampleEn":"The diameter is the longest chord of a circle and equals twice the radius."},{"id":"mathematik_192","word":"der Radius","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"半径","translationEn":"radius","usageNotes":"複数形: die Radien。Kreisradius（円の半径）。球・円柱・円錐でも同様に用いる。記号: r または R。","synonyms":["der Halbmesser"],"etymology":"ラテン語 radius（棒・車輪のスポーク）。転じて「中心から周縁への距離」。","exampleDe":"Alle Punkte auf einem Kreis haben denselben Abstand r vom Mittelpunkt.","exampleJa":"円上のすべての点は中心から同じ距離 r にある。","exampleEn":"All points on a circle have the same distance r from the center."},{"id":"mathematik_193","word":"die Tangente","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"接線","translationEn":"tangent (line)","usageNotes":"曲線に1点で接する直線。微分幾何では接線ベクトル（Tangentenvektor）と関連。三角関数の tan（Tangens）と語源は同じだが概念は別。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 tangens（触れる）< tangere（触れる）。英語 tangent と同語源。","exampleDe":"Die Tangente an einen Kreis steht senkrecht auf dem Radius im Berührungspunkt.","exampleJa":"円への接線は、接点において半径と垂直である。","exampleEn":"The tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of tangency."},{"id":"mathematik_194","word":"die Sekante","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"割線","translationEn":"secant (line)","usageNotes":"曲線と2点で交わる直線。割線の極限が接線になる（微分の概念と結びつく）。三角関数の sec（Sekans）と語源は同じ。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 secans（切る）< secare（切る）。「2点で切る直線」の意。","exampleDe":"Eine Sekante schneidet einen Kreis in genau zwei Punkten.","exampleJa":"割線は円をちょうど2点で切る。","exampleEn":"A secant intersects a circle at exactly two points."},{"id":"mathematik_195","word":"die Normale","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"法線","translationEn":"normal (line)","usageNotes":"曲線・曲面の接線・接平面に垂直な直線。Normalenvektor（法線ベクトル）は曲面に垂直なベクトル。曲面の向きを定める際に重要。","synonyms":["die Normalgerade","die Lotgerade"],"etymology":"ラテン語 normalis（直角の）< norma（大工の定規）。","exampleDe":"Die Normale steht senkrecht auf der Tangente im Berührungspunkt.","exampleJa":"法線は接点において接線と垂直である。","exampleEn":"The normal is perpendicular to the tangent at the point of contact."},{"id":"mathematik_196","word":"die Parallele","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"平行線","translationEn":"parallel line","usageNotes":"平行（parallel）の形容詞形も頻用。ユークリッド公準第5条（平行線公準）は非ユークリッド幾何学で否定される。記号: g ∥ h。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 parallelos（para-「横に」+ allelos「互いに」）から。","exampleDe":"Zwei Geraden in der Ebene sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.","exampleJa":"平面上の2直線は共通点を持たないとき平行である。","exampleEn":"Two lines in the plane are parallel if they have no common point."},{"id":"mathematik_197","word":"das Parallelogramm","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"平行四辺形","translationEn":"parallelogram","usageNotes":"対辺が平行かつ等長の四角形。面積 = 底辺 × 高さ（Grundlinie × Höhe）。長方形（Rechteck）と菱形（Raute/Rhombus）は特殊な平行四辺形。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 parallelogrammon（平行な線で囲まれた図形）","exampleDe":"Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus Grundlinie und zugehöriger Höhe.","exampleJa":"平行四辺形の面積は底辺と対応する高さの積である。","exampleEn":"The area of a parallelogram is the product of the base and the corresponding height."},{"id":"mathematik_198","word":"die Ellipse","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"楕円","translationEn":"ellipse","usageNotes":"標準形: x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）。2つの焦点（Brennpunkte）F₁, F₂ から任意の点 P への距離の和が一定（= 2a）。離心率 e = c/a（0 < e < 1）。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 elleipsis（不足）< elleipein（足りない）。円錐曲線の文脈で「円より小さい」の意。","exampleDe":"Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b hat den Flächeninhalt πab.","exampleJa":"半軸 a と b の楕円の面積は πab である。","exampleEn":"An ellipse with semi-axes a and b has area πab."},{"id":"mathematik_199","word":"der Schwerpunkt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"重心","translationEn":"centroid","usageNotes":"三角形の重心は3本の中線（Mittellinie）の交点。座標では G = (A+B+C)/3。物理での重心（Massenmittelpunkt）と区別することがある。","synonyms":["das Massenzentrum","der Massenmittelpunkt"],"etymology":"Schwer（重い）+ Punkt（点）。重力の作用点という物理的概念から。","exampleDe":"Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt jede Mittellinie im Verhältnis 2:1.","exampleJa":"三角形の重心は各中線を 2:1 の比に内分する。","exampleEn":"The centroid of a triangle divides each median in the ratio 2:1."},{"id":"mathematik_200","word":"das Polyeder","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"多面体","translationEn":"polyhedron","usageNotes":"複数形: die Polyeder または Polyeder。オイラーの多面体定理: V - E + F = 2（V=頂点数, E=辺数, F=面数）。正多面体（reguläres Polyeder）は5種類（Platonische Körper）。","synonyms":["der Vielflächner"],"etymology":"ギリシャ語 poly-（多）+ hedra（座・面）に由来。","exampleDe":"Für jedes konvexe Polyeder gilt die eulersche Formel: V - E + F = 2.","exampleJa":"すべての凸多面体についてオイラーの式 V - E + F = 2 が成り立つ。","exampleEn":"For every convex polyhedron, Euler's formula holds: V - E + F = 2."},{"id":"mathematik_201","word":"die Kugel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"球（体）","translationEn":"sphere, ball","usageNotes":"Sphäre（球面、表面のみ）と Kugel（球体）を区別することがある。体積 V = (4/3)πr³、表面積 A = 4πr²。Einheitskugel（単位球）は r = 1。","synonyms":["die Sphäre"],"etymology":"中高ドイツ語 kugel（球体）。起源はゲルマン語族の丸い物体を指す語。","exampleDe":"Das Volumen einer Kugel mit Radius r beträgt V = (4/3)πr³.","exampleJa":"半径 r の球の体積は V = (4/3)πr³ である。","exampleEn":"The volume of a sphere with radius r is V = (4/3)πr³."},{"id":"mathematik_202","word":"der Zylinder","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"円柱","translationEn":"cylinder","usageNotes":"体積 V = πr²h、側面積 M = 2πrh、全表面積 A = 2πr(r+h)。直円柱（gerader Zylinder）が標準。一般化: 任意の底面形状のZylinder。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 kylindros（ローラー）< kylindein（転がす）","exampleDe":"Das Volumen eines geraden Kreiszylinders berechnet sich als V = πr²h.","exampleJa":"直円柱の体積は V = πr²h で計算される。","exampleEn":"The volume of a right circular cylinder is calculated as V = πr²h."},{"id":"mathematik_203","word":"der Kegel","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"円錐","translationEn":"cone","usageNotes":"体積 V = (1/3)πr²h、側面積 M = πrl（l は母線の長さ）。Kreiskegel（直円錐）が標準形。円錐曲線（Kegelschnitt）との関連にも注意。","synonyms":[],"etymology":"古高ドイツ語 kegil（くさび・杭）。円錐形の物体を指す。","exampleDe":"Das Volumen eines Kegels beträgt ein Drittel des Volumens des umschriebenen Zylinders.","exampleJa":"円錐の体積は外接円柱の体積の3分の1である。","exampleEn":"The volume of a cone equals one third of the volume of the circumscribed cylinder."},{"id":"mathematik_204","word":"das Prisma","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"角柱、プリズム","translationEn":"prism","usageNotes":"複数形: die Prismen。底面が n 角形の Prisma は n-Prisma。体積 = 底面積 × 高さ（Grundfläche × Höhe）。三角柱（Dreiecksprisma）が最もよく使われる例。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 prisma（のこぎりで切ったもの）< prizein（のこぎりで切る）","exampleDe":"Das Volumen eines geraden Prismas ergibt sich als Produkt von Grundfläche und Höhe.","exampleJa":"直角柱の体積は底面積と高さの積として求められる。","exampleEn":"The volume of a right prism is the product of the base area and the height."},{"id":"mathematik_205","word":"die Pyramide","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"角錐、ピラミッド","translationEn":"pyramid","usageNotes":"底面が n 角形の角錐。体積 V = (1/3) × 底面積 × 高さ。頂点（Spitze）と底面（Grundfläche）をつなぐ側面は三角形。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 pyramis（ピラミッド）。エジプト語起源とも言われる。","exampleDe":"Das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Grundkante a und Höhe h beträgt (a²·h)/3.","exampleJa":"底辺 a 、高さ h の四角錐の体積は (a²·h)/3 である。","exampleEn":"The volume of a square pyramid with base edge a and height h is (a²·h)/3."},{"id":"mathematik_206","word":"der Tetraeder","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"四面体","translationEn":"tetrahedron","usageNotes":"4つの三角形の面からなる多面体。正四面体（reguläres Tetraeder）は4面すべてが正三角形。プラトンの立体の一つ。V = (√2/12)a³（辺長 a）。","synonyms":["die Dreieckspiramide"],"etymology":"ギリシャ語 tetra-（4）+ hedra（面）","exampleDe":"Ein regulärer Tetraeder hat vier gleichseitige Dreiecksflächen, vier Ecken und sechs Kanten.","exampleJa":"正四面体は4つの正三角形の面、4つの頂点、6つの辺を持つ。","exampleEn":"A regular tetrahedron has four equilateral triangular faces, four vertices, and six edges."},{"id":"mathematik_207","word":"der Würfel","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"立方体","translationEn":"cube","usageNotes":"6つの正方形の面からなる正多面体。体積 V = a³、表面積 A = 6a²（辺長 a）。プラトンの立体の一つ。Hyperwürfel（超立方体）へ拡張される。","synonyms":["das Hexaeder","das Kubus"],"etymology":"中高ドイツ語 würfel（さいころ）。さいころが立方体の形であることから。","exampleDe":"Ein Würfel mit Kantenlänge a hat das Volumen a³ und die Oberfläche 6a².","exampleJa":"辺長 a の立方体の体積は a³、表面積は 6a² である。","exampleEn":"A cube with edge length a has volume a³ and surface area 6a²."},{"id":"mathematik_208","word":"die Koordinaten","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"座標（複数形）","translationEn":"coordinates","usageNotes":"単数形: die Koordinate。デカルト座標（kartesische Koordinaten）, 極座標（Polarkoordinaten）, 球座標（Kugelkoordinaten）などがある。座標系（Koordinatensystem）で定義される。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 co-（共に）+ ordinare（順序付ける）。「共に秩序立てる」の意。","exampleDe":"In der Ebene wird ein Punkt durch zwei Koordinaten (x, y) eindeutig festgelegt.","exampleJa":"平面上の点は2つの座標 (x, y) によって一意に定まる。","exampleEn":"A point in the plane is uniquely determined by two coordinates (x, y)."},{"id":"mathematik_209","word":"der Koordinatenursprung","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"原点","translationEn":"origin","usageNotes":"座標系の基準点。座標はすべて 0 の点。記号: O または (0, 0) / (0, 0, 0)。Ursprung とも省略される。","synonyms":["der Ursprung","der Nullpunkt"],"etymology":"Koordinaten（座標）+ Ursprung（起源・出発点）の合成語。","exampleDe":"Der Koordinatenursprung liegt im Schnittpunkt der Koordinatenachsen.","exampleJa":"原点は座標軸の交点に位置する。","exampleEn":"The origin is located at the intersection of the coordinate axes."},{"id":"mathematik_210","word":"der Abstand","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"距離","translationEn":"distance","usageNotes":"2点間の距離（Abstand zweier Punkte）は d(A,B) = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。点と直線・面との距離も重要な概念。距離関数（Metrik）の基本概念。","synonyms":["die Entfernung","die Distanz"],"etymology":"ab-（離れて）+ Stand（立っている状態）< stehen（立つ）。「離れた位置」の意。","exampleDe":"Der Abstand zwischen zwei Punkten P₁(x₁, y₁) und P₂(x₂, y₂) beträgt √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).","exampleJa":"2点 P₁(x₁, y₁) と P₂(x₂, y₂) の間の距離は √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) である。","exampleEn":"The distance between two points P₁(x₁, y₁) and P₂(x₂, y₂) is √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)."},{"id":"mathematik_211","word":"die Strecke","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"線分","translationEn":"line segment","usageNotes":"端点（Endpunkte）A, B を持つ有限の直線部分。記号: AB または [AB]。長さ（Länge）は定義されるが、直線（Gerade）と異なり無限に延長しない。","synonyms":["das Liniensegment"],"etymology":"strecken（延ばす）の派生名詞。「引き延ばした線」の意。","exampleDe":"Die Strecke AB hat die Länge |AB| = d(A, B).","exampleJa":"線分 AB の長さは |AB| = d(A, B) である。","exampleEn":"The line segment AB has length |AB| = d(A, B)."},{"id":"mathematik_212","word":"die Kegelschnitt","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"円錐曲線","translationEn":"conic section","usageNotes":"円錐を平面で切った断面曲線。楕円（Ellipse）、放物線（Parabel）、双曲線（Hyperbel）の3種（退化ケースを除く）。一般2次曲線 ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 で表される。","synonyms":["der Kegelschnitt"],"etymology":"Kegel（円錐）+ Schnitt（切断）の合成語。","exampleDe":"Kegelschnitte entstehen, wenn man einen doppelten Kegel mit einer Ebene schneidet.","exampleJa":"円錐曲線は二葉円錐を平面で切ることによって生じる。","exampleEn":"Conic sections arise when a double cone is cut with a plane."},{"id":"mathematik_213","word":"die Mannigfaltigkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"多様体","translationEn":"manifold","usageNotes":"局所的にユークリッド空間 ℝⁿ と同相（homöomorph）な位相空間。n 次元多様体（n-dimensionale Mannigfaltigkeit）。微分可能多様体（differenzierbare Mannigfaltigkeit）は微分幾何の基本概念。","synonyms":[],"etymology":"mannigfaltig（多様な）+ -keit（名詞化接尾辞）。Riemannがドイツ語で導入した数学用語。","exampleDe":"Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit sieht lokal wie der ℝⁿ aus.","exampleJa":"n 次元多様体は局所的に ℝⁿ に見える。","exampleEn":"An n-dimensional manifold looks locally like ℝⁿ."},{"id":"mathematik_214","word":"die Krümmung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"曲率","translationEn":"curvature","usageNotes":"曲線の曲率 κ = |r''(t)|/|r'(t)|³（媒介変数表示）。曲面ではガウス曲率（Gaußsche Krümmung）K = κ₁κ₂ と平均曲率（mittlere Krümmung）H = (κ₁+κ₂)/2 がある。","synonyms":[],"etymology":"krümmen（曲げる）+ -ung（名詞化接尾辞）。中高ドイツ語 krumm（曲がった）に由来。","exampleDe":"Die Krümmung eines Kreises mit Radius r beträgt überall κ = 1/r.","exampleJa":"半径 r の円の曲率はどこでも κ = 1/r である。","exampleEn":"The curvature of a circle with radius r is κ = 1/r everywhere."},{"id":"mathematik_215","word":"die geodätische Linie","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"測地線","translationEn":"geodesic","usageNotes":"曲面・多様体上の2点間の最短経路（または局所的最短経路）。球面上の測地線は大円（Großkreis）。一般相対性理論では光の経路が測地線。","synonyms":["die Geodäte"],"etymology":"ギリシャ語 ge（大地）+ daiesthai（分割する）。「地球を測る線」という意味の地理学用語が数学に転用。","exampleDe":"Auf einer Kugeloberfläche sind die Geodäten Bögen von Großkreisen.","exampleJa":"球面上の測地線は大円の弧である。","exampleEn":"On a sphere, geodesics are arcs of great circles."},{"id":"mathematik_216","word":"die Topologie","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"位相幾何学、トポロジー","translationEn":"topology","usageNotes":"連続変形（Homöomorphismus）で変わらない性質を研究する数学分野。連結性（Zusammenhang）、コンパクト性（Kompaktheit）などが基本的性質。一般位相（allgemeine Topologie）と代数的位相（algebraische Topologie）に分かれる。","synonyms":["die Topologische Geometrie"],"etymology":"ギリシャ語 topos（場所）+ logos（学）。「場所の学問」の意。","exampleDe":"In der Topologie gelten ein Kaffeebecher und ein Donut als gleichwertig, da sie homöomorph sind.","exampleJa":"位相幾何学では、コーヒーカップとドーナツは同相（ホモモルフ）なので等価とみなされる。","exampleEn":"In topology, a coffee cup and a donut are considered equivalent since they are homeomorphic."},{"id":"mathematik_217","word":"der Homöomorphismus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"同相写像","translationEn":"homeomorphism","usageNotes":"位相空間の間の全単射で、f と f⁻¹ が共に連続な写像。homöomorph（同相）な空間は位相的に同値。同相（Homöomorphie）は位相幾何の同値関係。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 homoios（同じ）+ morphe（形）+ -ismus。「同じ形への写像」。","exampleDe":"Ein Homöomorphismus ist eine stetige Bijektion mit stetiger Umkehrabbildung.","exampleJa":"同相写像とは、連続な逆写像を持つ連続な全単射である。","exampleEn":"A homeomorphism is a continuous bijection with a continuous inverse."},{"id":"mathematik_218","word":"die offene Menge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"開集合","translationEn":"open set","usageNotes":"位相空間の公理で定義される基本概念。ℝ では「すべての点がε-近傍をその集合内に含む」集合。開集合の補集合は閉集合（abgeschlossene Menge）。","synonyms":[],"etymology":"offen（開いた）+ Menge（集合）の合成語。","exampleDe":"In ℝ ist das offene Intervall (a, b) eine offene Menge.","exampleJa":"ℝ において開区間 (a, b) は開集合である。","exampleEn":"In ℝ, the open interval (a, b) is an open set."},{"id":"mathematik_219","word":"die abgeschlossene Menge","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"閉集合","translationEn":"closed set","usageNotes":"開集合の補集合として定義される。等価な定義: すべての収束列の極限点を含む集合。閉区間 [a, b] が典型例。コンパクト集合（kompakte Menge）は閉かつ有界（abgeschlossen und beschränkt）。","synonyms":[],"etymology":"abgeschlossen（閉じた）+ Menge（集合）。abschließen（閉める）の過去分詞から。","exampleDe":"Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist eine abgeschlossene Menge in ℝ.","exampleJa":"閉区間 [a, b] は ℝ における閉集合である。","exampleEn":"The closed interval [a, b] is a closed set in ℝ."},{"id":"mathematik_220","word":"die Umgebung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"近傍","translationEn":"neighborhood","usageNotes":"点 x の近傍は x を含む開集合、またはある ε > 0 に対して |y - x| < ε となる点 y 全体（ε-近傍 Uε(x)）。位相の定義の出発点となる概念。","synonyms":["die Nachbarschaft"],"etymology":"um-（周り）+ geben（与える・囲む）+ -ung（名詞化）。「周囲を囲むもの」の意。","exampleDe":"Jede offene Menge, die den Punkt x enthält, ist eine Umgebung von x.","exampleJa":"点 x を含むすべての開集合は x の近傍である。","exampleEn":"Every open set containing the point x is a neighborhood of x."},{"id":"mathematik_221","word":"der Häufungspunkt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"集積点（極限点）","translationEn":"accumulation point, limit point","usageNotes":"点 x が集合 A の集積点 ⟺ x の任意の近傍が A の x 以外の点を含む。Berührungspunkt（接触点）とは区別される。ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理と密接に関連。","synonyms":["der Grenzpunkt","der Akkumulationspunkt"],"etymology":"Häufung（集積・頻繁）+ Punkt（点）。häufen（積み重ねる）の派生語。","exampleDe":"Der Punkt 0 ist ein Häufungspunkt der Folge (1/n), obwohl er kein Folgenelement ist.","exampleJa":"点 0 は数列 (1/n) の集積点だが、数列の要素ではない。","exampleEn":"The point 0 is an accumulation point of the sequence (1/n), although it is not an element of the sequence."},{"id":"mathematik_222","word":"kompakt","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"コンパクトな","translationEn":"compact","usageNotes":"位相空間が kompakt ⟺ すべての開被覆が有限部分被覆を持つ。ℝⁿ では有界閉集合と同値（ハイネ=ボレルの定理）。コンパクト集合上の連続関数は最大値・最小値を取る。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 compactus（密に合わさった）< compingere（詰め込む）","exampleDe":"Nach dem Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge des ℝⁿ genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.","exampleJa":"ハイネ=ボレルの定理により、ℝⁿ の部分集合はコンパクトであるとき、かつそのときに限り、閉かつ有界である。","exampleEn":"By the Heine-Borel theorem, a subset of ℝⁿ is compact if and only if it is closed and bounded."},{"id":"mathematik_223","word":"zusammenhängend","article":null,"partOfSpeech":"adjective","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"連結な","translationEn":"connected","usageNotes":"位相空間が connected ⟺ 互いに素な2つの開集合の合併として表せない。弧状連結（wegzusammenhängend）は強い概念。単連結（einfach zusammenhängend）は基本群が自明。","synonyms":[],"etymology":"zusammenhängen（つながっている）の現在分詞。zusammen（一緒）+ hängen（かかる・つながる）。","exampleDe":"Ein zusammenhängender topologischer Raum lässt sich nicht in zwei disjunkte offene Mengen zerlegen.","exampleJa":"連結な位相空間は互いに素な2つの開集合に分解できない。","exampleEn":"A connected topological space cannot be decomposed into two disjoint open sets."},{"id":"mathematik_224","word":"die Homotopie","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"ホモトピー","translationEn":"homotopy","usageNotes":"2つの連続写像 f, g: X → Y のホモトピーは連続写像 H: X × [0,1] → Y で H(x,0) = f(x), H(x,1) = g(x) を満たすもの。ホモトピー同値（Homotopieäquivalenz）は位相的同値の弱い概念。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 homos（同じ）+ topos（場所）+ -ie。「同じ場所への変形」の意。","exampleDe":"Eine Homotopie ist eine stetige Verformung einer Abbildung in eine andere.","exampleJa":"ホモトピーとは、ある写像から別の写像への連続的な変形である。","exampleEn":"A homotopy is a continuous deformation of one map into another."},{"id":"mathematik_225","word":"die Fundamentalgruppe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"基本群","translationEn":"fundamental group","usageNotes":"位相空間 X の基本点 x₀ における基本群 π₁(X, x₀) は x₀ を基点とするループのホモトピー類の群。単連結空間では π₁ = {e}（自明）。円の基本群は ℤ。","synonyms":["die Poincaré-Gruppe"],"etymology":"fundamental（基本的な）+ Gruppe（群）。ポアンカレ（Poincaré）が導入した概念。","exampleDe":"Die Fundamentalgruppe des Kreises S¹ ist isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen ℤ.","exampleJa":"円 S¹ の基本群は整数群 ℤ と同型である。","exampleEn":"The fundamental group of the circle S¹ is isomorphic to the group of integers ℤ."},{"id":"mathematik_226","word":"die Projektion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"射影、投影","translationEn":"projection","usageNotes":"射影幾何での射影変換（Projektive Transformation）は平行線を保たないが交点比を保存する。正射影（orthogonale Projektion）はベクトル空間での重要概念。P² = P（べき等性）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 proiectio（前方への投げ）< proiicere（前方に投げる）","exampleDe":"Die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen Unterraum minimiert den Abstand zum Unterraum.","exampleJa":"部分空間への正射影は部分空間との距離を最小化する。","exampleEn":"The orthogonal projection of a vector onto a subspace minimizes the distance to the subspace."},{"id":"mathematik_227","word":"die projektive Ebene","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"射影平面","translationEn":"projective plane","usageNotes":"実射影平面 RP² はユークリッド平面に「無限遠点（Fernpunkte）」を加えたもの。任意の2直線がちょうど1点で交わる（平行線なし）。向き付け不可能なコンパクト多様体。","synonyms":[],"etymology":"projektiv（射影の）+ Ebene（平面）の合成語。","exampleDe":"In der projektiven Ebene schneiden sich je zwei verschiedene Geraden in genau einem Punkt.","exampleJa":"射影平面では任意の2本の異なる直線がちょうど1点で交わる。","exampleEn":"In the projective plane, any two distinct lines intersect in exactly one point."},{"id":"mathematik_228","word":"die Transformation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"変換","translationEn":"transformation","usageNotes":"幾何学的変換: 等長変換（Isometrie）、相似変換（Ähnlichkeitstransformation）、アフィン変換（affine Transformation）、射影変換（projektive Transformation）。変換群（Transformationsgruppe）はフェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムの中心概念。","synonyms":["die Abbildung"],"etymology":"ラテン語 transformatio（形を変えること）< transformare（変換する）","exampleDe":"Eine Isometrie ist eine abstandserhaltende Transformation des euklidischen Raums.","exampleJa":"等長変換はユークリッド空間の距離を保つ変換である。","exampleEn":"An isometry is a distance-preserving transformation of Euclidean space."},{"id":"mathematik_229","word":"die Rotation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"回転（変換）","translationEn":"rotation","usageNotes":"等長変換の一種。2次元では回転行列 R(θ) = [[cosθ, -sinθ], [sinθ, cosθ]]。3次元ではオイラー角やクォータニオンで表す。SO(n) 群を成す。","synonyms":["die Drehung"],"etymology":"ラテン語 rotatio（回転）< rotare（回す）< rota（車輪）","exampleDe":"Eine Rotation in der Ebene um den Ursprung um den Winkel θ wird durch die Matrix R(θ) beschrieben.","exampleJa":"平面上での原点周りの角度 θ の回転は行列 R(θ) によって記述される。","exampleEn":"A rotation in the plane around the origin by angle θ is described by the matrix R(θ)."},{"id":"mathematik_230","word":"die Spiegelung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"鏡映、反射変換","translationEn":"reflection","usageNotes":"等長変換の一種。直線・平面を軸として位置を反転する変換。S² = id（べき等性）。行列式 det = -1。すべての等長変換は回転と鏡映の合成として表せる（ユークリッド群）。","synonyms":["die Reflexion"],"etymology":"spiegeln（鏡に映す）+ -ung（名詞化）< Spiegel（鏡）< 古高ドイツ語 spiegel","exampleDe":"Die Spiegelung an der x-Achse bildet jeden Punkt (x, y) auf (x, -y) ab.","exampleJa":"x 軸に関する鏡映は各点 (x, y) を (x, -y) に写す。","exampleEn":"Reflection in the x-axis maps each point (x, y) to (x, -y)."},{"id":"mathematik_231","word":"die Translation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"平行移動","translationEn":"translation","usageNotes":"等長変換の一種。すべての点を一定ベクトル t だけ移動する変換: P ↦ P + t。平行移動はベクトルの加法として表される。平行移動全体はアーベル群（可換群）をなす。","synonyms":["die Verschiebung","die Parallelverschiebung"],"etymology":"ラテン語 translatio（移動）< transferre（移す）","exampleDe":"Eine Translation verschiebt alle Punkte der Ebene um denselben Vektor.","exampleJa":"平行移動は平面のすべての点を同じベクトルだけ移動する。","exampleEn":"A translation shifts all points in the plane by the same vector."},{"id":"mathematik_232","word":"die Isometrie","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"等長変換、等距離写像","translationEn":"isometry","usageNotes":"距離を保つ写像: d(f(x), f(y)) = d(x, y)。ユークリッド等長変換は平行移動・回転・鏡映の合成。リーマン幾何では測地線を測地線に写す写像。","synonyms":["die abstandserhaltende Abbildung"],"etymology":"ギリシャ語 isos（等しい）+ metron（測る）+ -ie。「同じ距離を保つもの」。","exampleDe":"Kongruente Figuren sind durch eine Isometrie ineinander überführbar.","exampleJa":"合同な図形は等長変換によって互いに移り合う。","exampleEn":"Congruent figures can be transformed into each other by an isometry."},{"id":"mathematik_233","word":"die affine Abbildung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"アフィン写像","translationEn":"affine map","usageNotes":"線形写像と平行移動の合成: f(x) = Ax + b。平行線・面積比・重心を保つ（距離・角度は保たない）。アフィン幾何（affine Geometrie）の基本変換。","synonyms":["die affine Transformation"],"etymology":"ラテン語 affinis（境界を共有する・隣接する）< ad-（に）+ finis（境界）","exampleDe":"Eine affine Abbildung ist die Komposition einer linearen Abbildung und einer Translation.","exampleJa":"アフィン写像は線形写像と平行移動の合成である。","exampleEn":"An affine map is the composition of a linear map and a translation."},{"id":"mathematik_234","word":"das Vektorfeld","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"ベクトル場","translationEn":"vector field","usageNotes":"多様体・ユークリッド空間の各点にベクトルを割り当てる写像。div（発散）, rot/curl（回転）, grad（勾配）はベクトル場の演算子。流れ（Strömung・Fluss）の視覚化に使う。","synonyms":[],"etymology":"Vektor（ベクトル）+ Feld（場・領域）の合成語。","exampleDe":"Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt des Raums einen Vektor zu.","exampleJa":"ベクトル場は空間の各点にベクトルを割り当てる。","exampleEn":"A vector field assigns a vector to each point of space."},{"id":"mathematik_235","word":"die Divergenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"発散（ベクトル解析）","translationEn":"divergence","usageNotes":"ベクトル場 F の発散: div F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z。ガウスの発散定理（Gaußscher Integralsatz）: ∭ div F dV = ∯ F·n dS。湧き出し・吸い込みの強さを表す。","synonyms":["die Quelldichte"],"etymology":"ラテン語 divergere（分岐する）< di-（離れて）+ vergere（傾く）","exampleDe":"Die Divergenz eines Vektorfeldes misst die Quell- oder Senkenstärke an jedem Punkt.","exampleJa":"ベクトル場の発散は各点での湧き出しまたは吸い込みの強さを測る。","exampleEn":"The divergence of a vector field measures the source or sink strength at each point."},{"id":"mathematik_236","word":"die Metrik","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"距離関数、計量","translationEn":"metric","usageNotes":"集合 X 上の距離関数 d: X × X → ℝ≥0。公理: (1)d(x,y) = 0 ⟺ x=y, (2)d(x,y) = d(y,x), (3)三角不等式 d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)。距離空間（metrischer Raum）の定義に使う。","synonyms":["die Abstandsfunktion"],"etymology":"ギリシャ語 metron（測る道具・尺度）< metrein（測る）","exampleDe":"Eine Metrik auf einer Menge X ist eine Funktion d: X×X → ℝ≥0 mit bestimmten Eigenschaften.","exampleJa":"集合 X 上の計量は特定の性質をもつ関数 d: X×X → ℝ≥0 である。","exampleEn":"A metric on a set X is a function d: X×X → ℝ≥0 with certain properties."},{"id":"mathematik_237","word":"der metrische Raum","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"距離空間","translationEn":"metric space","usageNotes":"距離関数 d が定義された集合 (X, d)。位相空間の特殊な場合。完備距離空間（vollständiger metrischer Raum）では全コーシー列が収束する。バナッハ空間・ヒルベルト空間はその特殊例。","synonyms":[],"etymology":"metrisch（計量的な）+ Raum（空間）の合成語。","exampleDe":"Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert.","exampleJa":"完備距離空間は、すべてのコーシー列が収束する距離空間である。","exampleEn":"A complete metric space is a metric space in which every Cauchy sequence converges."},{"id":"mathematik_238","word":"der Torus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"トーラス","translationEn":"torus","usageNotes":"複数形: die Tori。回転体として r(u,v) = ((R + r·cos v)cos u, (R + r·cos v)sin u, r·sin v)。基本群 π₁(T²) ≅ ℤ × ℤ。オイラー標数 χ = 0。コーヒーカップと同相（同じ位相型）。","synonyms":["der Donut（口語）"],"etymology":"ラテン語 torus（丸い膨らみ・指輪型の成形物）","exampleDe":"Der Torus entsteht, wenn man ein Rechteck längs seiner gegenüberliegenden Seiten identifiziert.","exampleJa":"トーラスは長方形の対辺同士を貼り合わせることによって得られる。","exampleEn":"The torus is obtained by identifying opposite edges of a rectangle."},{"id":"mathematik_239","word":"das Simplex","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"単体","translationEn":"simplex","usageNotes":"複数形: die Simplizes / Simplexe。n-Simplex は n+1 個のアフィン独立な点の凸包。0-Simplex（点）、1-Simplex（線分）、2-Simplex（三角形）、3-Simplex（四面体）。単体的複体（Simplizialkomplex）の構成要素。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 simplex（単純な）< semel（一度）+ -plex（折り畳み）","exampleDe":"Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder, der von vier affin unabhängigen Punkten aufgespannt wird.","exampleJa":"3-単体は4つのアフィン独立な点によって張られる四面体である。","exampleEn":"A 3-simplex is a tetrahedron spanned by four affinely independent points."},{"id":"mathematik_240","word":"das Integral (Kurvenintegral)","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"線積分（曲線積分）","translationEn":"line integral","usageNotes":"スカラー場の線積分: ∫_C f ds。ベクトル場の線積分: ∫_C F·dr。グリーンの定理、ストークスの定理と密接に関連。弧長パラメータ（Bogenlängenparameter）を用いることが多い。","synonyms":["das Kurvenintegral","das Wegintegral"],"etymology":"integral（積分の）+ Kurve（曲線）の修飾構造。","exampleDe":"Das Kurvenintegral eines Vektorfeldes F längs einer Kurve C ist ∫_C F·dr.","exampleJa":"曲線 C に沿ったベクトル場 F の線積分は ∫_C F·dr である。","exampleEn":"The line integral of a vector field F along a curve C is ∫_C F·dr."},{"id":"mathematik_241","word":"der Rand","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"境界","translationEn":"boundary","usageNotes":"集合 A の境界 ∂A = 閉包 - 内部。多様体の境界（Rand einer Mannigfaltigkeit）はコンパクトな多様体の閉部分多様体。境界演算子 ∂ は ∂∂ = 0（ホモロジー理論の基本性質）。","synonyms":["die Grenze","die Randmenge"],"etymology":"中高ドイツ語 rant（縁・境界）< 古高ドイツ語 rant（盾の縁）","exampleDe":"Der Rand einer Scheibe ist ein Kreis, der Rand einer Kugel ist eine Sphäre.","exampleJa":"円板の境界は円であり、球体の境界は球面である。","exampleEn":"The boundary of a disk is a circle; the boundary of a ball is a sphere."},{"id":"mathematik_242","word":"die Einbettung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"はめ込み、埋め込み","translationEn":"embedding","usageNotes":"単射の連続写像 f: X → Y で、X の位相を像 f(X) の部分位相と一致させるもの。ホイットニーの定理: 任意の n 次元滑らかな多様体は ℝ^(2n) に滑らかに埋め込める。","synonyms":["die Immersion（より弱い概念）"],"etymology":"einbetten（はめ込む）+ -ung（名詞化）。ein-（中に）+ betten（横たえる）。","exampleDe":"Jede glatte n-dimensionale Mannigfaltigkeit lässt sich glatt in den ℝ^(2n) einbetten.","exampleJa":"任意の滑らかな n 次元多様体は ℝ^(2n) に滑らかに埋め込める。","exampleEn":"Every smooth n-dimensional manifold can be smoothly embedded into ℝ^(2n)."},{"id":"mathematik_243","word":"der Diffeomorphismus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"微分同相写像","translationEn":"diffeomorphism","usageNotes":"滑らかな全単射で逆写像も滑らかな写像。微分幾何での同値関係。ホモモルフィズムより強い概念（微分可能性を要求）。微分同相群（Diffeomorphismengruppe）は無限次元リー群をなす。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 di-（分ける・異なる）+ pherein（運ぶ）より来る差分 + morphe（形）。ラテン語・ギリシャ語混合の数学用語。","exampleDe":"Zwei Mannigfaltigkeiten sind diffeomorph, wenn es einen Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt.","exampleJa":"2つの多様体の間に微分同相写像が存在するとき、それらは微分同相である。","exampleEn":"Two manifolds are diffeomorphic if there exists a diffeomorphism between them."},{"id":"mathematik_244","word":"der Tensorprodukt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"テンソル積","translationEn":"tensor product","usageNotes":"das Tensorprodukt とも言う（中性名詞として扱われることが多い）。記号: ⊗。ベクトル空間 V ⊗ W は双線型写像の普遍的性質で特徴付けられる。テンソル（Tensor）は多重線型写像として解釈され、微分幾何の中心概念。","synonyms":[],"etymology":"Tensor（テンソル）+ Produkt（積）の合成語。tensor はラテン語 tendere（引き伸ばす）に由来。","exampleDe":"Das Tensorprodukt V ⊗ W zweier Vektorräume ist durch eine universelle bilineare Abbildung charakterisiert.","exampleJa":"2つのベクトル空間のテンソル積 V ⊗ W は普遍双線型写像によって特徴付けられる。","exampleEn":"The tensor product V ⊗ W of two vector spaces is characterized by a universal bilinear map."},{"id":"mathematik_245","word":"die Triangulierung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"三角形分割","translationEn":"triangulation","usageNotes":"曲面・多様体を有限個の単体（Simplizes）に分割する方法。オイラー標数 χ = V - E + F（頂点・辺・面の数）は三角形分割によらない位相不変量。有限要素法（Finite-Elemente-Methode）でも使う。","synonyms":["die simpliziale Zerlegung"],"etymology":"triangulieren（三角形分割する）+ -ung（名詞化）< Triangel（三角形）","exampleDe":"Jede kompakte Fläche besitzt eine Triangulierung, und die Eulercharakteristik ist eine topologische Invariante.","exampleJa":"すべてのコンパクト曲面は三角形分割を持ち、オイラー標数は位相的不変量である。","exampleEn":"Every compact surface admits a triangulation, and the Euler characteristic is a topological invariant."},{"id":"mathematik_246","word":"der Gaußsche Integralsatz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"ガウスの発散定理","translationEn":"Gauss's divergence theorem","usageNotes":"∭_V (div F) dV = ∯_∂V F · n dA。体積積分と面積分を結ぶ定理。ストークスの定理（Stokesscher Satz）の特殊な場合とみなせる（微分形式を使った場合）。物理では電場・流体に応用。","synonyms":["der Divergenzsatz","der Gaußsche Satz"],"etymology":"カール・フリードリヒ・ガウス（Carl Friedrich Gauß, 1777-1855）に由来。Integral（積分）+ Satz（定理）。","exampleDe":"Der Gaußsche Integralsatz verknüpft das Volumenintegral der Divergenz mit dem Flussintegral über die Randfläche.","exampleJa":"ガウスの発散定理は発散の体積積分と境界面上の流束積分を結びつける。","exampleEn":"Gauss's divergence theorem relates the volume integral of the divergence to the flux integral over the boundary surface."},{"id":"mathematik_247","word":"der Stokessche Satz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"幾何学・位相","translationJa":"ストークスの定理","translationEn":"Stokes' theorem","usageNotes":"∬_S (rot F) · n dA = ∮_∂S F · dr。曲面積分と境界上の線積分を結ぶ定理。一般化されたストークスの定理: ∫_M dω = ∫_∂M ω（外微分と微分形式）。グリーンの定理（Greenscher Satz）も特殊ケース。","synonyms":["der Stokessche Integralsatz"],"etymology":"ジョージ・ガブリエル・ストークス（George Gabriel Stokes, 1819-1903）に由来。","exampleDe":"Der Stokessche Satz verknüpft das Flächenintegral der Rotation mit dem Kurvenintegral über den Rand der Fläche.","exampleJa":"ストークスの定理は回転の面積分と境界曲線上の線積分を結びつける。","exampleEn":"Stokes' theorem relates the surface integral of the curl to the line integral over the boundary of the surface."},{"id":"mathematik_248","word":"das Epsilon-Delta-Kriterium","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ε-δ論法（イプシロン・デルタ基準）","translationEn":"epsilon-delta criterion","usageNotes":"極限の厳密な定義: lim_{x→a} f(x) = L ⟺ ∀ε>0 ∃δ>0: |x−a|<δ ⟹ |f(x)−L|<ε。コーシーが確立。","synonyms":["die Epsilon-Delta-Definition"],"etymology":"ギリシャ文字 ε（イプシロン）と δ（デルタ）を用いた基準。ε は誤差の許容幅、δ は入力の近傍幅を表す。","exampleDe":"Das Epsilon-Delta-Kriterium gibt eine präzise Definition des Grenzwerts einer Funktion.","exampleJa":"ε-δ論法は関数の極限値を厳密に定義する。","exampleEn":"The epsilon-delta criterion provides a precise definition of the limit of a function."},{"id":"mathematik_249","word":"die Stammfunktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"原始関数","translationEn":"antiderivative, primitive function","usageNotes":"F'(x) = f(x) を満たす F(x)。不定積分の結果として求まる。F(x) + C（C は積分定数）の形で一般解を表す。","synonyms":["die Antiderivierte","die Integralfunktion"],"etymology":"ドイツ語 Stamm（幹・起源）+ Funktion（関数）。「微分すると元の関数に戻る（幹となる）関数」のイメージ。","exampleDe":"Eine Stammfunktion von f(x) = 3x² ist F(x) = x³ + C.","exampleJa":"f(x) = 3x² の原始関数は F(x) = x³ + C である。","exampleEn":"An antiderivative of f(x) = 3x² is F(x) = x³ + C."},{"id":"mathematik_250","word":"der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"微積分学の基本定理","translationEn":"fundamental theorem of calculus","usageNotes":"第1部: F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt ⟹ F'(x) = f(x)。第2部: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)。微分と積分が逆演算であることを示す。","synonyms":["der Fundamentalsatz der Analysis"],"etymology":"ドイツ語 Haupt-（主要な）+ Satz（命題）。微積分学の「主定理」として最重要。","exampleDe":"Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Differentiation und Integration als inverse Operationen.","exampleJa":"微積分学の基本定理は微分と積分を逆演算として結びつける。","exampleEn":"The fundamental theorem of calculus links differentiation and integration as inverse operations."},{"id":"mathematik_251","word":"die Kettenregel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"連鎖律（合成関数の微分法則）","translationEn":"chain rule","usageNotes":"[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)。ライプニッツ記法では dy/dx = (dy/du)·(du/dx)。合成関数の微分に不可欠。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Kette（鎖）+ Regel（規則）。内側の関数と外側の関数が「鎖」のようにつながって微分されるイメージ。","exampleDe":"Nach der Kettenregel gilt: die Ableitung von sin(x²) ist cos(x²) · 2x.","exampleJa":"連鎖律によれば、sin(x²) の導関数は cos(x²) · 2x である。","exampleEn":"By the chain rule, the derivative of sin(x²) is cos(x²) · 2x."},{"id":"mathematik_252","word":"die Produktregel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"積の微分法則","translationEn":"product rule","usageNotes":"[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。ライプニッツの積の法則とも呼ばれる。","synonyms":["die Leibniz-Regel"],"etymology":"ドイツ語 Produkt（積）+ Regel（規則）。2つの関数の「積」を微分するための規則。","exampleDe":"Laut der Produktregel gilt: die Ableitung von x·sin(x) ist sin(x) + x·cos(x).","exampleJa":"積の法則によれば、x·sin(x) の導関数は sin(x) + x·cos(x) である。","exampleEn":"According to the product rule, the derivative of x·sin(x) is sin(x) + x·cos(x)."},{"id":"mathematik_253","word":"die Quotientenregel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"商の微分法則","translationEn":"quotient rule","usageNotes":"[f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)] / [g(x)]²。g(x) ≠ 0 の条件が必要。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Quotient（商）+ Regel（規則）。2つの関数の「商」を微分するための規則。","exampleDe":"Die Quotientenregel wird benötigt, um Ausdrücke wie sin(x)/x abzuleiten.","exampleJa":"商の微分法則は sin(x)/x のような式を微分する際に必要となる。","exampleEn":"The quotient rule is needed to differentiate expressions like sin(x)/x."},{"id":"mathematik_254","word":"die partielle Ableitung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"偏微分","translationEn":"partial derivative","usageNotes":"∂f/∂x（ラウンドdまたはカーリーd）で表記。多変数関数の1つの変数に関する微分。記号 ∂ はライプニッツの d に由来。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 partialis（部分的な）+ Ableitung（導関数）。「変数の一部に関する微分」のイメージ。","exampleDe":"Die partielle Ableitung von f(x, y) = x²y nach x ist 2xy.","exampleJa":"f(x, y) = x²y の x に関する偏微分は 2xy である。","exampleEn":"The partial derivative of f(x, y) = x²y with respect to x is 2xy."},{"id":"mathematik_255","word":"die partielle Differentialgleichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"偏微分方程式","translationEn":"partial differential equation","usageNotes":"略称: PDG（ドイツ語）/ PDE（英語）。複数の変数に関する偏微分を含む方程式。熱方程式・波動方程式・ラプラス方程式が代表例。","synonyms":["die PDE","die PDG"],"etymology":"partielle（偏）+ Differentialgleichung（微分方程式）の合成語。常微分方程式（ODE）と対比される。","exampleDe":"Die Wärmeleitungsgleichung ∂u/∂t = k·∂²u/∂x² ist eine partielle Differentialgleichung.","exampleJa":"熱方程式 ∂u/∂t = k·∂²u/∂x² は偏微分方程式である。","exampleEn":"The heat equation ∂u/∂t = k·∂²u/∂x² is a partial differential equation."},{"id":"mathematik_256","word":"die Differentialgleichung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"微分方程式","translationEn":"differential equation","usageNotes":"略称: DGL。未知関数とその導関数を含む方程式。常微分方程式（gewöhnliche DGL）と偏微分方程式（partielle DGL）に大別。Ordnung（階数）で分類。","synonyms":["die DGL"],"etymology":"ドイツ語 Differential（微分）+ Gleichung（方程式）。「微分を含む方程式」の直訳。","exampleDe":"Die Differentialgleichung y' = ky beschreibt exponentielles Wachstum oder Zerfall.","exampleJa":"微分方程式 y' = ky は指数的な成長または減衰を記述する。","exampleEn":"The differential equation y' = ky describes exponential growth or decay."},{"id":"mathematik_257","word":"die Taylorreihe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"テイラー級数","translationEn":"Taylor series","usageNotes":"f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ（a のまわりの展開）。a=0 の場合はマクローリン級数（Maclaurin-Reihe）と呼ばれる。","synonyms":["die Taylor-Entwicklung"],"etymology":"18世紀のイギリス人数学者ブルック・テイラー（Brook Taylor, 1685–1731）の名にちなむ。","exampleDe":"Die Taylorreihe von eˣ um den Punkt 0 lautet: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …","exampleJa":"eˣ の点0周りのテイラー級数は: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … である。","exampleEn":"The Taylor series of eˣ around 0 is: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …"},{"id":"mathematik_258","word":"die Potenzreihe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"べき級数","translationEn":"power series","usageNotes":"Σ aₙ(x−a)ⁿ の形の無限級数。収束半径（Konvergenzradius）R の範囲で収束する。解析関数の表現に使用。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Potenz（べき乗）+ Reihe（級数）。「変数のべき乗を項とする級数」の意。","exampleDe":"Jede Potenzreihe hat einen Konvergenzradius R, innerhalb dessen sie gleichmäßig konvergiert.","exampleJa":"すべてのべき級数は収束半径 R を持ち、その内部で一様収束する。","exampleEn":"Every power series has a radius of convergence R within which it converges uniformly."},{"id":"mathematik_259","word":"der Konvergenzradius","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"収束半径","translationEn":"radius of convergence","usageNotes":"コーシー・アダマール公式: 1/R = lim sup |aₙ|^(1/n)。|x−a| < R の領域でべき級数が収束し、|x−a| > R で発散する。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Konvergenz（収束）+ Radius（半径）。「収束が成り立つ円の半径」のイメージ。","exampleDe":"Der Konvergenzradius der geometrischen Reihe Σ xⁿ beträgt 1.","exampleJa":"等比級数 Σ xⁿ の収束半径は1である。","exampleEn":"The radius of convergence of the geometric series Σ xⁿ is 1."},{"id":"mathematik_260","word":"die Konvergenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"収束","translationEn":"convergence","usageNotes":"gleichmäßige Konvergenz（一様収束）と punktweise Konvergenz（各点収束）を区別する。形容詞: konvergent。動詞: konvergieren。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 convergere（一点に向かう）+ -enz（名詞化接尾辞）。「一点に集まる性質」を意味する。","exampleDe":"Die Konvergenz einer Reihe wird mit verschiedenen Kriterien wie dem Quotientenkriterium geprüft.","exampleJa":"級数の収束は商判定法などさまざまな判定法で調べられる。","exampleEn":"The convergence of a series is tested with various criteria such as the ratio test."},{"id":"mathematik_261","word":"das Konvergenzkriterium","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"収束判定法","translationEn":"convergence criterion, convergence test","usageNotes":"代表例: Quotientenkriterium（商判定法・比率試験）、Wurzelkriterium（根号判定法）、Leibniz-Kriterium（交代級数判定法）、Majorantenkriterium（優函数判定法）。","synonyms":["der Konvergenztest"],"etymology":"ドイツ語 Konvergenz（収束）+ Kriterium（基準）< ギリシャ語 kritērion（判断の尺度）。","exampleDe":"Das Quotientenkriterium besagt: Wenn lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1, dann konvergiert die Reihe absolut.","exampleJa":"商判定法によれば、lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1 ならば級数は絶対収束する。","exampleEn":"The ratio test states: if lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1, then the series converges absolutely."},{"id":"mathematik_262","word":"die absolute Konvergenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"絶対収束","translationEn":"absolute convergence","usageNotes":"Σ |aₙ| が収束するとき Σ aₙ は絶対収束するという。絶対収束 ⟹ 収束（逆は成立しない）。条件収束（bedingte Konvergenz）と対比。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 absolut（絶対的な）< ラテン語 absolutus（完全な）+ Konvergenz（収束）。","exampleDe":"Die Reihe Σ 1/n² konvergiert absolut, da Σ |1/n²| = Σ 1/n² konvergiert.","exampleJa":"Σ |1/n²| = Σ 1/n² が収束するので、級数 Σ 1/n² は絶対収束する。","exampleEn":"The series Σ 1/n² converges absolutely because Σ |1/n²| = Σ 1/n² converges."},{"id":"mathematik_263","word":"das Supremum","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"上限","translationEn":"supremum","usageNotes":"集合 A の sup A = 最小の上界。最大元（Maximum）が存在すれば sup A = max A。記号: sup A。対概念: das Infimum（下限）。","synonyms":["die kleinste obere Schranke"],"etymology":"ラテン語 supremus（最高の）< superus（上の）< super（上に）。「最も高い境界」の意。","exampleDe":"Das Supremum der Menge {x ∈ ℝ | x < 1} ist 1, aber 1 ist kein Element der Menge.","exampleJa":"集合 {x ∈ ℝ | x < 1} の上限は1であるが、1はその集合の要素ではない。","exampleEn":"The supremum of the set {x ∈ ℝ | x < 1} is 1, but 1 is not an element of the set."},{"id":"mathematik_264","word":"das Infimum","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"下限","translationEn":"infimum","usageNotes":"集合 A の inf A = 最大の下界。最小元（Minimum）が存在すれば inf A = min A。記号: inf A。対概念: das Supremum（上限）。","synonyms":["die größte untere Schranke"],"etymology":"ラテン語 infimus（最低の）< inferus（下の）< infra（下に）。「最も低い境界」の意。","exampleDe":"Das Infimum einer nach unten beschränkten Menge reeller Zahlen existiert stets.","exampleJa":"下に有界な実数の集合の下限は常に存在する。","exampleEn":"The infimum of a set of real numbers that is bounded below always exists."},{"id":"mathematik_265","word":"die obere Schranke","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"上界","translationEn":"upper bound","usageNotes":"∀x ∈ A: x ≤ M なる M を集合 A の上界という。nach oben beschränkt（上に有界な）という形容詞表現と対応。対: untere Schranke（下界）。","synonyms":["die Oberschranke"],"etymology":"ドイツ語 oben（上）+ Schranke（境界・障壁）< schränken（制限する）。","exampleDe":"Eine Menge heißt nach oben beschränkt, wenn sie eine obere Schranke besitzt.","exampleJa":"集合が上界を持つとき、その集合は上に有界であるという。","exampleEn":"A set is called bounded above if it has an upper bound."},{"id":"mathematik_266","word":"die gleichmäßige Konvergenz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"一様収束","translationEn":"uniform convergence","usageNotes":"∀ε>0 ∃N: n>N ⟹ |fₙ(x)−f(x)|<ε が x に依存しない。各点収束（punktweise Konvergenz）より強い概念。極限と積分・微分の交換の正当化に使用。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 gleichmäßig（一様な・均等な）+ Konvergenz（収束）。「全域で同じ速さで収束する」の意。","exampleDe":"Bei gleichmäßiger Konvergenz darf man Grenzwert und Integration vertauschen.","exampleJa":"一様収束の場合、極限と積分の順序を交換できる。","exampleEn":"With uniform convergence, the order of limit and integration may be exchanged."},{"id":"mathematik_267","word":"differenzieren","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"微分する","translationEn":"to differentiate","usageNotes":"+Akkusativ。eine Funktion differenzieren（関数を微分する）。ableiten とほぼ同義だが、differenzieren はより数学的・抽象的な文脈で用いられることが多い。","synonyms":["ableiten"],"etymology":"ラテン語 differentia（差）< differre（運び離す）+ -ieren（動詞化接尾辞）。「差分化する」の意。","exampleDe":"Man kann die Funktion f(x) = eˣ · sin(x) nach der Produktregel differenzieren.","exampleJa":"関数 f(x) = eˣ · sin(x) は積の法則を用いて微分できる。","exampleEn":"The function f(x) = eˣ · sin(x) can be differentiated using the product rule."},{"id":"mathematik_268","word":"die Taylorentwicklung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"テイラー展開","translationEn":"Taylor expansion","usageNotes":"関数を点 a の周りにべき級数で展開すること。有限次数での打ち切りはテイラー多項式（Taylorpolynom）と呼ぶ。Taylorreihe と区別しながら使う。","synonyms":["die Taylor-Näherung"],"etymology":"テイラー（Taylor）+ Entwicklung（展開）< entwickeln（展開する）< wickeln（巻く）。「巻き広げる」のイメージ。","exampleDe":"Die Taylorentwicklung von cos(x) um 0 ergibt: 1 − x²/2! + x⁴/4! − …","exampleJa":"cos(x) の 0 周りのテイラー展開は: 1 − x²/2! + x⁴/4! − … となる。","exampleEn":"The Taylor expansion of cos(x) around 0 gives: 1 − x²/2! + x⁴/4! − …"},{"id":"mathematik_269","word":"das Restglied","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"剰余項","translationEn":"remainder term","usageNotes":"テイラー多項式の近似誤差を表す項。ラグランジュ形式: Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x−a)ⁿ⁺¹（ξ は a と x の間のある点）。","synonyms":["der Restterm","das Taylorrestglied"],"etymology":"ドイツ語 Rest（残り）+ Glied（項・メンバー）。「多項式で近似したあとに残る項」のイメージ。","exampleDe":"Das Lagrange-Restglied gibt eine Abschätzung des Fehlers bei der Taylor-Näherung.","exampleJa":"ラグランジュ剰余項はテイラー近似における誤差の評価を与える。","exampleEn":"The Lagrange remainder term provides an estimate of the error in the Taylor approximation."},{"id":"mathematik_270","word":"die Fourierreihe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"フーリエ級数","translationEn":"Fourier series","usageNotes":"周期関数を三角関数の無限和で表す: f(x) = a₀/2 + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))。フーリエ係数（Fourierkoeffizienten）は積分で求まる。","synonyms":["die trigonometrische Reihe"],"etymology":"フランス人数学者ジョゼフ・フーリエ（Joseph Fourier, 1768–1830）の名にちなむ。熱伝導の研究で導入。","exampleDe":"Jede stückweise stetige, periodische Funktion lässt sich durch eine Fourierreihe darstellen.","exampleJa":"区分的に連続な周期関数はすべてフーリエ級数で表すことができる。","exampleEn":"Every piecewise continuous periodic function can be represented by a Fourier series."},{"id":"mathematik_271","word":"die Fouriertransformation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"フーリエ変換","translationEn":"Fourier transform","usageNotes":"F̂(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t)e^{-iωt}dt と定義。時間領域から周波数領域への変換。逆フーリエ変換（inverse Fouriertransformation）で元に戻せる。","synonyms":[],"etymology":"フーリエ（Fourier）+ Transformation（変換）< ラテン語 transformare（形を変える）。","exampleDe":"Die Fouriertransformation zerlegt ein Signal in seine Frequenzkomponenten.","exampleJa":"フーリエ変換は信号をその周波数成分に分解する。","exampleEn":"The Fourier transform decomposes a signal into its frequency components."},{"id":"mathematik_272","word":"die holomorphe Funktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"正則関数","translationEn":"holomorphic function","usageNotes":"複素平面の開集合で複素微分可能な関数。正則性（Holomorphie）はコーシー・リーマン方程式（Cauchy-Riemann-Gleichungen）が必要十分条件。analytisch（解析的）とも同義。","synonyms":["die analytische Funktion","die reguläre Funktion"],"etymology":"ギリシャ語 holos（全体）+ morphe（形）+ -isch。「全域で形が整った（微分可能な）関数」の意。","exampleDe":"Eine holomorphe Funktion ist durch die Cauchy-Riemann-Gleichungen charakterisiert.","exampleJa":"正則関数はコーシー・リーマン方程式によって特徴付けられる。","exampleEn":"A holomorphic function is characterized by the Cauchy-Riemann equations."},{"id":"mathematik_273","word":"das Residuum","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"留数","translationEn":"residue","usageNotes":"孤立特異点 z₀ における正則関数の留数: Res(f, z₀) = ローラン展開の (z−z₀)⁻¹ の係数。留数定理（Residuensatz）で複素積分の計算に利用。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 residuum（残り・残留物）< residere（残る）< re-（後に）+ sedere（座る）。「極の周りに残るもの」のイメージ。","exampleDe":"Das Residuum von f(z) = 1/z im Punkt z₀ = 0 ist gleich 1.","exampleJa":"f(z) = 1/z の z₀ = 0 における留数は1である。","exampleEn":"The residue of f(z) = 1/z at z₀ = 0 equals 1."},{"id":"mathematik_274","word":"der Residuensatz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"留数定理","translationEn":"residue theorem","usageNotes":"∮_C f(z)dz = 2πi Σ Res(f, zₖ)（C 内の孤立特異点 zₖ の留数の総和）。複素積分の計算を強力に簡略化する。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Residuum（留数）+ Satz（定理）。コーシーが確立した複素解析の核心定理。","exampleDe":"Mit dem Residuensatz lassen sich viele schwierige reelle Integrale berechnen.","exampleJa":"留数定理を使うと、多くの難解な実積分を計算することができる。","exampleEn":"Using the residue theorem, many difficult real integrals can be evaluated."},{"id":"mathematik_275","word":"das Kurvenintegral","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"線積分","translationEn":"line integral, contour integral","usageNotes":"∫_C f(z)dz（複素路積分）または ∫_C F·ds（ベクトル場の線積分）。Wegunabhängigkeit（経路独立性）と正則性が関連。","synonyms":["das Linienintegral","das Wegintegral"],"etymology":"ドイツ語 Kurve（曲線）+ Integral（積分）。「曲線に沿った積分」のイメージ。","exampleDe":"Das Kurvenintegral längs eines geschlossenen Weges verschwindet für holomorphe Funktionen.","exampleJa":"正則関数の閉路に沿った線積分は0になる。","exampleEn":"The contour integral along a closed path vanishes for holomorphic functions."},{"id":"mathematik_276","word":"der Cauchysche Integralsatz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"コーシーの積分定理","translationEn":"Cauchy's integral theorem","usageNotes":"単連結領域 D で f が正則ならば、D 内の任意の閉路 C に対して ∮_C f(z)dz = 0。複素解析の基礎定理。","synonyms":["der Cauchy-Integralsatz"],"etymology":"フランス人数学者オーギュスタン＝ルイ・コーシー（Augustin-Louis Cauchy, 1789–1857）にちなむ。","exampleDe":"Der Cauchysche Integralsatz gilt, wenn die Funktion in dem von der Kurve eingeschlossenen Gebiet holomorph ist.","exampleJa":"コーシーの積分定理は、関数が曲線で囲まれた領域で正則であれば成立する。","exampleEn":"Cauchy's integral theorem holds when the function is holomorphic in the region enclosed by the curve."},{"id":"mathematik_277","word":"die Laurentreihe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ローラン級数","translationEn":"Laurent series","usageNotes":"f(z) = Σ aₙ(z−z₀)ⁿ（n は −∞ から +∞ まで）。負の次数の項（Hauptteil「主部」）を含む。正則でない点（特異点）の周りで使用。","synonyms":[],"etymology":"フランス人数学者ピエール・アルフォン・ローラン（Pierre Alphonse Laurent, 1813–1854）の名にちなむ。","exampleDe":"Die Laurentreihe erlaubt es, Funktionen um isolierte Singularitäten herum zu entwickeln.","exampleJa":"ローラン級数により、孤立特異点の周りで関数を展開することができる。","exampleEn":"The Laurent series allows functions to be expanded around isolated singularities."},{"id":"mathematik_278","word":"die Singularität","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"特異点","translationEn":"singularity","usageNotes":"関数が正則でない点。hebbare Singularität（除去可能特異点）、Pol（極）、wesentliche Singularität（真性特異点）の3種類に分類。","synonyms":["der singuläre Punkt"],"etymology":"ラテン語 singularis（唯一の・特別な）+ -ität（名詞化接尾辞）。「特別な（正則でない）点」の意。","exampleDe":"Der Punkt z = 0 ist eine Singularität der Funktion f(z) = 1/z.","exampleJa":"点 z = 0 は関数 f(z) = 1/z の特異点である。","exampleEn":"The point z = 0 is a singularity of the function f(z) = 1/z."},{"id":"mathematik_279","word":"der Pol","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"極（複素解析）","translationEn":"pole","usageNotes":"z₀ が m 位の極 ⟺ (z−z₀)ᵐ·f(z) は z₀ で正則かつ零でない。einfacher Pol（1位の極）、mehrfacher Pol（多位の極）。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 polus（軸・極）< ギリシャ語 polos（回転軸）。「関数が無限大に発散する点」を天文学の極に喩えた。","exampleDe":"Die Funktion f(z) = 1/(z−2) hat einen einfachen Pol bei z = 2.","exampleJa":"関数 f(z) = 1/(z−2) は z = 2 に1位の極を持つ。","exampleEn":"The function f(z) = 1/(z−2) has a simple pole at z = 2."},{"id":"mathematik_280","word":"das Oberflächenintegral","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"面積分","translationEn":"surface integral","usageNotes":"∬_S f dS（スカラー場の面積分）または ∬_S F·dS（ベクトル場のフラックス積分）。ガウスの発散定理（Gauß'scher Satz）と関連。","synonyms":["das Flächenintegral"],"etymology":"ドイツ語 Oberfläche（表面）+ Integral（積分）。「曲面上の積分」のイメージ。","exampleDe":"Mit dem Oberflächenintegral berechnet man den Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche.","exampleJa":"面積分を用いて、曲面を通るベクトル場のフラックスを計算する。","exampleEn":"The surface integral is used to calculate the flux of a vector field through a surface."},{"id":"mathematik_281","word":"der Laplace-Operator","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ラプラス演算子","translationEn":"Laplace operator","usageNotes":"Δf = ∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²。Δf = 0 の解は調和関数（harmonische Funktion）と呼ばれる。物理学でも広く使用。","synonyms":["der Laplacian"],"etymology":"フランス人数学者ピエール＝シモン・ラプラス（Pierre-Simon Laplace, 1749–1827）の名にちなむ。","exampleDe":"Der Laplace-Operator Δ ist die Summe der zweiten partiellen Ableitungen nach allen Variablen.","exampleJa":"ラプラス演算子 Δ はすべての変数に関する二階偏微分の和である。","exampleEn":"The Laplace operator Δ is the sum of the second partial derivatives with respect to all variables."},{"id":"mathematik_282","word":"die harmonische Funktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"調和関数","translationEn":"harmonic function","usageNotes":"ラプラス方程式 Δf = 0 を満たす関数。正則関数の実部・虚部は調和関数。Dirichlet問題（境界値問題）で重要な役割を果たす。","synonyms":[],"etymology":"ギリシャ語 harmonia（調和）< harmos（継ぎ目）。「平滑・調和的に変化する関数」のイメージ。","exampleDe":"Der Realteil jeder holomorphen Funktion ist eine harmonische Funktion.","exampleJa":"すべての正則関数の実部は調和関数である。","exampleEn":"The real part of every holomorphic function is a harmonic function."},{"id":"mathematik_283","word":"der Satz von Stokes","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ストークスの定理","translationEn":"Stokes' theorem","usageNotes":"∬_S (rot F)·dS = ∮_{∂S} F·ds。曲面上の回転の面積分を境界曲線上の線積分に変換する。ガウスの定理・グリーンの定理を統合する一般化定理。","synonyms":["der Stokessche Integralsatz"],"etymology":"アイルランドの数学者ジョージ・ガブリエル・ストークス（George Gabriel Stokes, 1819–1903）の名にちなむ。","exampleDe":"Der Satz von Stokes verknüpft die Rotation eines Vektorfeldes mit dem Umlaufintegral längs der Randkurve.","exampleJa":"ストークスの定理はベクトル場の回転を境界曲線に沿った周回積分と結びつける。","exampleEn":"Stokes' theorem connects the curl of a vector field with the line integral along the boundary curve."},{"id":"mathematik_284","word":"der Gaußsche Satz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ガウスの発散定理","translationEn":"Gauss's divergence theorem","usageNotes":"∭_V (div F)dV = ∯_{∂V} F·dS。領域内の発散の体積積分を境界面上のフラックスに変換。ガウス・グリーン定理とも呼ばれる。","synonyms":["der Divergenzsatz","der Gauss-Greenscher Satz"],"etymology":"カール・フリードリヒ・ガウス（Carl Friedrich Gauß, 1777–1855）にちなむ。","exampleDe":"Der Gaußsche Satz ermöglicht es, Volumenintegrale durch Oberflächenintegrale zu ersetzen.","exampleJa":"ガウスの定理は体積積分を面積分に置き換えることを可能にする。","exampleEn":"Gauss's divergence theorem allows volume integrals to be replaced by surface integrals."},{"id":"mathematik_285","word":"die Jakobi-Matrix","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ヤコビ行列","translationEn":"Jacobian matrix","usageNotes":"ベクトル値関数 F: ℝⁿ → ℝᵐ の偏微分を並べた m×n 行列。J_F = (∂Fᵢ/∂xⱼ)。行列式は Jacobi-Determinante（ヤコビアン）。変数変換の置換定理で使用。","synonyms":["die Funktionalmatrix"],"etymology":"プロイセンの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ（Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804–1851）の名にちなむ。","exampleDe":"Die Jakobi-Matrix einer differenzierbaren Abbildung enthält alle partiellen Ableitungen erster Ordnung.","exampleJa":"微分可能な写像のヤコビ行列はすべての一階偏微分を含む。","exampleEn":"The Jacobian matrix of a differentiable map contains all first-order partial derivatives."},{"id":"mathematik_286","word":"die Hesse-Matrix","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ヘッセ行列","translationEn":"Hessian matrix","usageNotes":"H_f = (∂²f/∂xᵢ∂xⱼ) の対称行列。二変数以上の関数の臨界点の種類（極小・極大・鞍点）を判定するために使う。正定値（positiv definit）なら極小。","synonyms":["die Hessische Matrix"],"etymology":"ドイツ人数学者オットー・ヘッセ（Otto Hesse, 1811–1874）の名にちなむ。","exampleDe":"Wenn die Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt positiv definit ist, liegt ein lokales Minimum vor.","exampleJa":"臨界点でヘッセ行列が正定値であれば、その点は局所的な極小点である。","exampleEn":"If the Hessian matrix is positive definite at a critical point, the point is a local minimum."},{"id":"mathematik_287","word":"der kritische Punkt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"臨界点","translationEn":"critical point","usageNotes":"∇f(x₀) = 0（勾配が零ベクトル）を満たす点 x₀。局所極値（lokales Extremum）または鞍点（Sattelpunkt）になりうる。","synonyms":["der stationäre Punkt"],"etymology":"ラテン語 criticus（判断の）< ギリシャ語 kritikos（識別できる）+ Punkt（点）。「関数の挙動が変わる判断点」のイメージ。","exampleDe":"Ein kritischer Punkt ist ein Punkt, an dem der Gradient einer Funktion gleich null ist.","exampleJa":"臨界点とは、関数の勾配が零になる点のことである。","exampleEn":"A critical point is a point at which the gradient of a function equals zero."},{"id":"mathematik_288","word":"der Sattelpunkt","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"鞍点","translationEn":"saddle point","usageNotes":"ある方向には極大、別の方向には極小になる点。二変数関数では ∇f = 0 かつ H_f が不定値のとき鞍点。マルチプレイヤーゲームのナッシュ均衡とも関連。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Sattel（馬の鞍）+ Punkt（点）。「馬の鞍のように、ある方向は上向き・別方向は下向きになる点」のイメージ。","exampleDe":"Der Ursprung ist ein Sattelpunkt der Funktion f(x, y) = x² − y².","exampleJa":"原点は関数 f(x, y) = x² − y² の鞍点である。","exampleEn":"The origin is a saddle point of the function f(x, y) = x² − y²."},{"id":"mathematik_289","word":"die Extremwertaufgabe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"最適化問題（極値問題）","translationEn":"optimization problem, extremum problem","usageNotes":"制約なし（unrestringiert）または制約あり（restringiert）の極値問題。ラグランジュ乗数法（Lagrange-Multiplikatoren）が制約付き最適化に使用される。","synonyms":["das Optimierungsproblem"],"etymology":"ドイツ語 Extremwert（極値）+ Aufgabe（問題）。「極値を求めることを課題とする問題」。","exampleDe":"Bei einer Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen verwendet man die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.","exampleJa":"制約条件付きの最適化問題では、ラグランジュ乗数法を用いる。","exampleEn":"For an optimization problem with constraints, the method of Lagrange multipliers is used."},{"id":"mathematik_290","word":"der Lagrange-Multiplikator","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ラグランジュ乗数","translationEn":"Lagrange multiplier","usageNotes":"制約 g(x) = 0 の下で f(x) の極値を求めるとき ∇f = λ∇g を解く。λ がラグランジュ乗数。複数の制約に対しては複数の乗数を導入する。","synonyms":[],"etymology":"イタリア・フランスの数学者ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ（Joseph-Louis Lagrange, 1736–1813）の名にちなむ。","exampleDe":"Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren wandelt ein restringiertes in ein unrestringiertes Optimierungsproblem um.","exampleJa":"ラグランジュ乗数法は制約付き最適化問題を制約なしの問題に変換する。","exampleEn":"The method of Lagrange multipliers transforms a constrained into an unconstrained optimization problem."},{"id":"mathematik_291","word":"die partielle Integration","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"部分積分","translationEn":"integration by parts","usageNotes":"∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx。積の微分法則を積分に逆用したもの。u, v の選択に ILATE 規則（Inverse, Logarithm, Algebraic, Trigonometric, Exponential）が目安。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 partiell（部分的な）+ Integration（積分）。「積の一部を微分し、他の部分を積分する」手法。","exampleDe":"Durch partielle Integration gilt: ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C.","exampleJa":"部分積分により: ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C が成立する。","exampleEn":"By integration by parts: ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C."},{"id":"mathematik_292","word":"die Partialbruchzerlegung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"部分分数分解","translationEn":"partial fraction decomposition","usageNotes":"有理関数 P(x)/Q(x) を簡単な分数の和に分解する手法。積分計算やラプラス変換の逆変換に使用。Q(x) の因数分解が前提。","synonyms":["die Partialbruchentwicklung"],"etymology":"ドイツ語 Partial-（部分的な）+ Bruch（分数）+ Zerlegung（分解）< zerlegen（分解する）。","exampleDe":"Durch Partialbruchzerlegung wird 1/(x²−1) in 1/(2(x−1)) − 1/(2(x+1)) zerlegt.","exampleJa":"部分分数分解により、1/(x²−1) は 1/(2(x−1)) − 1/(2(x+1)) に分解される。","exampleEn":"By partial fraction decomposition, 1/(x²−1) is split into 1/(2(x−1)) − 1/(2(x+1))."},{"id":"mathematik_293","word":"das uneigentliche Integral","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"広義積分","translationEn":"improper integral","usageNotes":"積分区間が無限または被積分関数が区間内で無限大になる積分。∫_a^∞ f(x)dx = lim_{b→∞} ∫_a^b f(x)dx として極限で定義される。","synonyms":["das verallgemeinerte Integral"],"etymology":"ドイツ語 uneigentlich（本来の意味でない・広義の）+ Integral（積分）。「通常の（固有の）積分の範囲を超えた積分」の意。","exampleDe":"Das uneigentliche Integral ∫_1^∞ 1/x² dx konvergiert und hat den Wert 1.","exampleJa":"広義積分 ∫_1^∞ 1/x² dx は収束し、値は1である。","exampleEn":"The improper integral ∫_1^∞ 1/x² dx converges and equals 1."},{"id":"mathematik_294","word":"die Maclaurin-Reihe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"マクローリン級数","translationEn":"Maclaurin series","usageNotes":"テイラー級数の a=0 特殊ケース: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ。sin x, cos x, eˣ, ln(1+x) などの展開で頻出。","synonyms":["die Maclaurinsche Reihe"],"etymology":"スコットランドの数学者コリン・マクローリン（Colin Maclaurin, 1698–1746）の名にちなむ。テイラー展開の特殊ケースだが独立に研究した。","exampleDe":"Die Maclaurin-Reihe von sin(x) lautet: sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − …","exampleJa":"sin(x) のマクローリン級数は: sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − … である。","exampleEn":"The Maclaurin series of sin(x) is: sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − …"},{"id":"mathematik_295","word":"das Doppelintegral","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"二重積分","translationEn":"double integral","usageNotes":"∬_D f(x, y) dA。フビニの定理（Satz von Fubini）により累次積分に変換可能。極座標・変数変換（ヤコビアン使用）で計算を簡略化できる。","synonyms":["das zweidimensionale Integral"],"etymology":"ドイツ語 doppel（二重の）+ Integral（積分）。「2つの変数に関して積分する」の意。","exampleDe":"Das Doppelintegral ∬_D f(x, y) dA berechnet das Volumen unter der Fläche z = f(x, y).","exampleJa":"二重積分 ∬_D f(x, y) dA は曲面 z = f(x, y) の下の体積を計算する。","exampleEn":"The double integral ∬_D f(x, y) dA calculates the volume under the surface z = f(x, y)."},{"id":"mathematik_296","word":"der Satz von Fubini","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"フビニの定理","translationEn":"Fubini's theorem","usageNotes":"∬_D f(x,y)dA = ∫_a^b [∫_c^d f(x,y)dy] dx。絶対可積分な関数に対して、二重積分を任意の順序の累次積分に変換できる。","synonyms":[],"etymology":"イタリアの数学者グイド・フビニ（Guido Fubini, 1879–1943）の名にちなむ。","exampleDe":"Nach dem Satz von Fubini darf man bei geeigneten Funktionen die Integrationsreihenfolge vertauschen.","exampleJa":"フビニの定理によれば、適切な関数に対して積分の順序を交換することができる。","exampleEn":"By Fubini's theorem, for suitable functions the order of integration may be exchanged."},{"id":"mathematik_297","word":"der Zwischenwertsatz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"中間値定理","translationEn":"intermediate value theorem","usageNotes":"f が [a, b] で連続かつ f(a) と f(b) が異なる符号をもつなら ∃c ∈ (a,b): f(c) = 0。方程式の解の存在証明に使用。","synonyms":["der Bolzano-Satz"],"etymology":"ドイツ語 Zwischenwert（中間値）+ Satz（定理）。「中間の値を必ず取る」ことを保証する定理。","exampleDe":"Der Zwischenwertsatz garantiert, dass eine stetige Funktion auf [a, b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt.","exampleJa":"中間値定理は、[a, b] での連続関数が f(a) と f(b) の間のすべての値をとることを保証する。","exampleEn":"The intermediate value theorem guarantees that a continuous function on [a, b] takes every value between f(a) and f(b)."},{"id":"mathematik_298","word":"der Mittelwertsatz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"平均値定理","translationEn":"mean value theorem","usageNotes":"f が [a, b] で連続かつ (a, b) で微分可能なら ∃c ∈ (a,b): f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a)。「ある点での接線が平均傾きに一致する」ことを保証。","synonyms":["der Lagrangesche Mittelwertsatz"],"etymology":"ドイツ語 Mittelwert（平均値）+ Satz（定理）。「平均的な微分値が実現される点の存在」を主張する定理。","exampleDe":"Der Mittelwertsatz besagt, dass es einen Punkt gibt, an dem die Ableitung gleich dem Differenzenquotienten über das gesamte Intervall ist.","exampleJa":"平均値定理は、導関数が区間全体の差分商に等しくなる点が存在することを述べる。","exampleEn":"The mean value theorem states that there exists a point where the derivative equals the difference quotient over the entire interval."},{"id":"mathematik_299","word":"der Satz von Rolle","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ロルの定理","translationEn":"Rolle's theorem","usageNotes":"f が [a, b] で連続、(a, b) で微分可能、かつ f(a) = f(b) ならば ∃c ∈ (a, b): f'(c) = 0。平均値定理の特殊ケース。","synonyms":[],"etymology":"フランスの数学者ミシェル・ロル（Michel Rolle, 1652–1719）の名にちなむ。","exampleDe":"Nach dem Satz von Rolle muss eine differenzierbare Funktion mit f(a) = f(b) mindestens einen Punkt mit horizontaler Tangente haben.","exampleJa":"ロルの定理によれば、f(a) = f(b) となる微分可能な関数は、水平な接線を持つ点を少なくとも1つもたなければならない。","exampleEn":"By Rolle's theorem, a differentiable function with f(a) = f(b) must have at least one point with a horizontal tangent."},{"id":"mathematik_300","word":"die Regel von L'Hôpital","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ロピタルの定理","translationEn":"L'Hôpital's rule","usageNotes":"0/0 型または ∞/∞ 型の不定形の極限: lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)（g'(x) ≠ 0 の条件下）。繰り返し適用できる。","synonyms":["die L'Hospital-Regel"],"etymology":"フランスの数学者ギヨーム・ド・ロピタル（Guillaume de l'Hôpital, 1661–1704）にちなむ。実際にはベルヌーイが発見したとされる。","exampleDe":"Mit der Regel von L'Hôpital berechnet man: lim_{x→0} sin(x)/x = lim_{x→0} cos(x)/1 = 1.","exampleJa":"ロピタルの定理を使うと: lim_{x→0} sin(x)/x = lim_{x→0} cos(x)/1 = 1 と計算できる。","exampleEn":"Using L'Hôpital's rule: lim_{x→0} sin(x)/x = lim_{x→0} cos(x)/1 = 1."},{"id":"mathematik_301","word":"die Potenzregel","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"べき乗則（微分）","translationEn":"power rule","usageNotes":"(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹。実数 n に対して成立。積分形: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）。最も基本的な微分規則の一つ。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Potenz（べき乗）+ Regel（規則）。「べき乗関数を微分する規則」の直訳。","exampleDe":"Laut der Potenzregel gilt: die Ableitung von x⁵ ist 5x⁴.","exampleJa":"べき乗則によれば、x⁵ の導関数は 5x⁴ である。","exampleEn":"According to the power rule, the derivative of x⁵ is 5x⁴."},{"id":"mathematik_302","word":"die Richtungsableitung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"方向微分","translationEn":"directional derivative","usageNotes":"単位ベクトル v 方向への f の変化率: D_v f(x) = ∇f(x)·v。∇f（勾配）は全方向への方向微分の情報を包含する。","synonyms":["die direktionale Ableitung"],"etymology":"ドイツ語 Richtung（方向）+ Ableitung（導関数）。「特定の方向への微分」の意。","exampleDe":"Die Richtungsableitung gibt an, wie schnell sich eine Funktion in einer bestimmten Richtung ändert.","exampleJa":"方向微分は、関数がある特定の方向にどれだけ速く変化するかを示す。","exampleEn":"The directional derivative indicates how quickly a function changes in a given direction."},{"id":"mathematik_303","word":"das Volumenintegral","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"体積積分","translationEn":"volume integral","usageNotes":"∭_V f(x, y, z) dV。三重積分（Dreifachintegral）とも呼ばれる。球座標・円柱座標への変換（ヤコビアン使用）で計算を簡略化できる。","synonyms":["das Dreifachintegral","das Raumintegral"],"etymology":"ドイツ語 Volumen（体積）+ Integral（積分）。「3次元領域上の積分」の意。","exampleDe":"Mit einem Volumenintegral berechnet man die Masse eines Körpers bei gegebener Dichtefunktion.","exampleJa":"体積積分を用いて、与えられた密度関数のもとで物体の質量を計算する。","exampleEn":"A volume integral is used to calculate the mass of a body given its density function."},{"id":"mathematik_304","word":"die analytische Fortsetzung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"解析接続","translationEn":"analytic continuation","usageNotes":"正則関数を定義域より広い領域に（可能であれば一意に）拡張すること。リーマンゼータ関数のような関数の拡張に使用。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 analytisch（解析的な）+ Fortsetzung（継続・延長）< fortsetzen（続ける）。「解析的性質を保ちながら定義域を延長する」の意。","exampleDe":"Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zeta-Funktion liefert Werte auch außerhalb des ursprünglichen Konvergenzbereichs.","exampleJa":"リーマンゼータ関数の解析接続により、元の収束領域の外でも値が得られる。","exampleEn":"The analytic continuation of the Riemann zeta function provides values also outside the original domain of convergence."},{"id":"mathematik_305","word":"der Fixpunktsatz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"不動点定理","translationEn":"fixed-point theorem","usageNotes":"バナッハの不動点定理（Banachscher Fixpunktsatz）: 完備距離空間上の縮小写像は唯一の不動点を持つ。微分方程式の解の存在・一意性の証明に使用。","synonyms":["der Banachsche Fixpunktsatz"],"etymology":"ドイツ語 Fixpunkt（不動点）< fix（固定された）+ Punkt（点）+ Satz（定理）。「写像によって動かない点の存在を保証する定理」。","exampleDe":"Der Banachsche Fixpunktsatz garantiert die Existenz und Eindeutigkeit des Fixpunkts einer Kontraktion.","exampleJa":"バナッハの不動点定理は縮小写像の不動点の存在と一意性を保証する。","exampleEn":"Banach's fixed-point theorem guarantees the existence and uniqueness of the fixed point of a contraction."},{"id":"mathematik_306","word":"die Lipschitz-Bedingung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"リプシッツ条件","translationEn":"Lipschitz condition","usageNotes":"∃L≥0: |f(x)−f(y)| ≤ L|x−y|（リプシッツ定数 L）。一様連続性より強い条件。微分方程式の解の一意性定理（ピカール・リンデレフの定理）に使用。","synonyms":["die Lipschitz-Stetigkeit"],"etymology":"ドイツ人数学者ルドルフ・リプシッツ（Rudolf Lipschitz, 1832–1903）の名にちなむ。","exampleDe":"Eine differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung erfüllt die Lipschitz-Bedingung.","exampleJa":"有界な導関数を持つ微分可能な関数はリプシッツ条件を満たす。","exampleEn":"A differentiable function with bounded derivative satisfies the Lipschitz condition."},{"id":"mathematik_307","word":"der Satz von Heine-Borel","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"ハイネ・ボレルの定理","translationEn":"Heine-Borel theorem","usageNotes":"ℝⁿ の部分集合がコンパクト ⟺ 有界（beschränkt）かつ閉集合（abgeschlossen）。コンパクト集合上の連続関数は最大値・最小値をとる。","synonyms":["der Kompaktheitssatz"],"etymology":"ドイツ人数学者ハインリヒ・ハイネ（Heinrich Heine）とフランス人数学者エミール・ボレル（Émile Borel）の名にちなむ。","exampleDe":"Nach dem Satz von Heine-Borel ist jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von ℝⁿ kompakt.","exampleJa":"ハイネ・ボレルの定理によれば、ℝⁿ の閉かつ有界な部分集合はコンパクトである。","exampleEn":"By the Heine-Borel theorem, every closed and bounded subset of ℝⁿ is compact."},{"id":"mathematik_308","word":"das Spektrum","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"解析・微積分","translationJa":"スペクトル","translationEn":"spectrum","usageNotes":"演算子 A のスペクトル: σ(A) = {λ ∈ ℂ | (A − λI) は可逆でない}。固有値（Eigenwert）の概念を無限次元に拡張したもの。スペクトル理論（Spektraltheorie）の中心概念。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 spectrum（像・出現）< specere（見る）。光学の「スペクトル」から数学的概念に転用された。","exampleDe":"Das Spektrum eines beschränkten linearen Operators ist stets eine kompakte Teilmenge von ℂ.","exampleJa":"有界線形作用素のスペクトルは常に ℂ のコンパクトな部分集合である。","exampleEn":"The spectrum of a bounded linear operator is always a compact subset of ℂ."},{"id":"mathematik_309","word":"das Ereignis","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"事象","translationEn":"event","usageNotes":"標本空間 Ω の部分集合。sicheres Ereignis（確実事象）= Ω、unmögliches Ereignis（不可能事象）= ∅。komplementäres Ereignis（余事象）= Ā。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 er-（結果として）+ eignen（自分のものになる）+ -nis（名詞化）。「起こった出来事」を意味する。","exampleDe":"Das Ereignis 'eine gerade Zahl würfeln' enthält die Elemente {2, 4, 6}.","exampleJa":"「偶数の目が出る」という事象は要素 {2, 4, 6} を含む。","exampleEn":"The event 'rolling an even number' contains the elements {2, 4, 6}."},{"id":"mathematik_310","word":"die Zufallsvariable","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"確率変数","translationEn":"random variable","usageNotes":"標本空間から実数への写像。大文字 X, Y, Z で表記。diskrete Zufallsvariable（離散確率変数）と stetige Zufallsvariable（連続確率変数）に分類。","synonyms":["die stochastische Variable"],"etymology":"ドイツ語 Zufall（偶然）+ Variable（変数）。Zufall < zu-（～に）+ fallen（落ちる）。「偶然に落ちてくる値」のイメージ。","exampleDe":"Die Anzahl der Köpfe bei 10 Münzwürfen ist eine diskrete Zufallsvariable.","exampleJa":"10回のコイン投げで表が出る回数は離散確率変数である。","exampleEn":"The number of heads in 10 coin flips is a discrete random variable."},{"id":"mathematik_311","word":"die Verteilung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"分布","translationEn":"distribution","usageNotes":"Wahrscheinlichkeitsverteilung（確率分布）の略称として使用されることが多い。Dichtefunktion（確率密度関数）や Verteilungsfunktion（累積分布関数）で記述される。","synonyms":["die Wahrscheinlichkeitsverteilung"],"etymology":"ドイツ語 ver-（完全に）+ teilen（分ける）+ -ung（名詞化）。「全体に分配すること」。","exampleDe":"Die Verteilung einer Zufallsvariablen beschreibt, wie die Wahrscheinlichkeiten auf die Werte verteilt sind.","exampleJa":"確率変数の分布は確率が各値にどのように配分されているかを表す。","exampleEn":"The distribution of a random variable describes how probabilities are spread across its values."},{"id":"mathematik_312","word":"die Binomialverteilung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"二項分布","translationEn":"binomial distribution","usageNotes":"X ~ B(n, p) と表記。n 回の独立なベルヌーイ試行で成功する回数の分布。P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ。期待値: np、分散: np(1-p)。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 binomium（2つの名前）< bi-（2）+ nomen（名前）。二項係数（Binomialkoeffizient）を用いることから命名。","exampleDe":"Die Binomialverteilung B(10, 0,5) modelliert die Anzahl der Treffer bei 10 fairen Münzwürfen.","exampleJa":"二項分布 B(10, 0.5) は公平なコイン10回投げの表の回数をモデル化する。","exampleEn":"The binomial distribution B(10, 0.5) models the number of heads in 10 fair coin flips."},{"id":"mathematik_313","word":"die Poisson-Verteilung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"ポアソン分布","translationEn":"Poisson distribution","usageNotes":"X ~ Pois(λ) と表記。単位時間・単位領域に稀に起こる事象の回数をモデル化。P(X=k) = λᵏ·e⁻λ / k!。期待値 = 分散 = λ。","synonyms":[],"etymology":"フランスの数学者 Siméon Denis Poisson（1781–1840）の名前に由来。フランス語 poisson は「魚」だが数学者の姓。","exampleDe":"Die Anzahl der Anrufe pro Stunde in einem Callcenter folgt oft einer Poisson-Verteilung.","exampleJa":"コールセンターの1時間あたりの着信件数はしばしばポアソン分布に従う。","exampleEn":"The number of calls per hour in a call center often follows a Poisson distribution."},{"id":"mathematik_314","word":"die Gleichverteilung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"一様分布","translationEn":"uniform distribution","usageNotes":"離散: U{a,...,b}、連続: U(a,b) または Uniform(a,b)。すべての結果に等しい確率を割り当てる。連続型の密度関数: f(x) = 1/(b-a)（a ≤ x ≤ b）。","synonyms":["die Uniformverteilung"],"etymology":"ドイツ語 gleich（等しい）+ Verteilung（分布）。「すべてが等しく分配された」分布。","exampleDe":"Ein fairer Würfel folgt einer diskreten Gleichverteilung auf {1, 2, 3, 4, 5, 6}.","exampleJa":"公平なサイコロは {1, 2, 3, 4, 5, 6} 上の離散一様分布に従う。","exampleEn":"A fair die follows a discrete uniform distribution on {1, 2, 3, 4, 5, 6}."},{"id":"mathematik_315","word":"die Exponentialverteilung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"指数分布","translationEn":"exponential distribution","usageNotes":"X ~ Exp(λ) と表記。ポアソン過程における事象間の待ち時間をモデル化。密度関数: f(x) = λe⁻λˣ（x ≥ 0）。期待値: 1/λ、無記憶性を持つ。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 exponere（外に置く）から派生した exponentiell（指数的な）+ Verteilung（分布）。","exampleDe":"Die Lebensdauer elektronischer Bauteile wird häufig durch eine Exponentialverteilung modelliert.","exampleJa":"電子部品の寿命はしばしば指数分布によってモデル化される。","exampleEn":"The lifespan of electronic components is often modeled by an exponential distribution."},{"id":"mathematik_316","word":"die bedingte Wahrscheinlichkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"条件付き確率","translationEn":"conditional probability","usageNotes":"P(A|B)（B が与えられた下での A の確率）= P(A ∩ B) / P(B)。B は条件事象（P(B) > 0 が必要）。ベイズの定理の基礎。","synonyms [],":null,"synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 bedingt（条件付きの）< bedingen（条件とする）+ Wahrscheinlichkeit（確率）。","exampleDe":"Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) gibt an, wie wahrscheinlich A ist, wenn B bereits eingetreten ist.","exampleJa":"条件付き確率 P(A|B) は B がすでに起こったときに A が起こる確率を表す。","exampleEn":"The conditional probability P(A|B) indicates how likely A is, given that B has already occurred."},{"id":"mathematik_317","word":"der Satz von Bayes","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"ベイズの定理","translationEn":"Bayes' theorem","usageNotes":"P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)。P(A) は事前確率（a priori），P(A|B) は事後確率（a posteriori）。全確率の法則（Satz der totalen Wahrscheinlichkeit）と組み合わせて使う。","synonyms":["das Bayessche Theorem"],"etymology":"イギリスの聖職者・数学者 Thomas Bayes（1702–1761）の名に由来。死後に出版された論文で初めて定式化された。","exampleDe":"Mit dem Satz von Bayes lässt sich die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung nach einem positiven Test berechnen.","exampleJa":"ベイズの定理を用いると、陽性検査後の罹患確率を計算できる。","exampleEn":"Bayes' theorem allows us to calculate the probability of a disease given a positive test result."},{"id":"mathematik_318","word":"die A-priori-Wahrscheinlichkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"事前確率","translationEn":"prior probability","usageNotes":"ベイズ統計において、データ観測前の確率。P(A) で表記。対義語: A-posteriori-Wahrscheinlichkeit（事後確率）P(A|B)。","synonyms":["die Vorwahrscheinlichkeit","der Prior"],"etymology":"ラテン語 a priori（経験より前に）。スコラ哲学用語が確率論に転用された。","exampleDe":"Die A-priori-Wahrscheinlichkeit einer Krankheit in der Bevölkerung ist oft gering.","exampleJa":"人口における疾患の事前確率はしばしば低い。","exampleEn":"The prior probability of a disease in the population is often low."},{"id":"mathematik_319","word":"die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"事後確率","translationEn":"posterior probability","usageNotes":"ベイズ統計において、データ観測後に更新された確率。P(A|B) で表記。事前確率（Prior）と尤度（Likelihood）から計算される。","synonyms":["der Posterior"],"etymology":"ラテン語 a posteriori（経験の後に）。哲学用語が統計学に取り込まれた。","exampleDe":"Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird durch neue Beobachtungen aus der A-priori-Wahrscheinlichkeit berechnet.","exampleJa":"事後確率は新しい観測によって事前確率から計算される。","exampleEn":"The posterior probability is calculated from the prior probability using new observations."},{"id":"mathematik_320","word":"die Likelihood","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"尤度","translationEn":"likelihood","usageNotes":"L(θ|x) = P(x|θ)。パラメータ θ が与えられたときデータ x が観測される確率。最尤推定（Maximum-Likelihood-Schätzung, MLS）の基礎。","synonyms":["die Likelihoodfunktion"],"etymology":"英語 likelihood（もっともらしさ）がドイツ語数学用語としてそのまま借用された語。","exampleDe":"Die Likelihood-Funktion beschreibt, wie gut ein Parameterwert die beobachteten Daten erklärt.","exampleJa":"尤度関数はパラメータ値が観測データをどの程度うまく説明するかを表す。","exampleEn":"The likelihood function describes how well a parameter value explains the observed data."},{"id":"mathematik_321","word":"die Stichprobe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"標本、サンプル","translationEn":"sample","usageNotes":"Grundgesamtheit（母集団）から取り出した部分集合。Stichprobenumfang n（標本サイズ）。repräsentative Stichprobe（代表的標本）、Zufallsstichprobe（無作為標本）。","synonyms":["die Stichprobenerhebung","das Sample"],"etymology":"ドイツ語 Stich（刺すこと・一突き）+ Probe（試験・試み）。布地を少量だけ切り取って品質を確かめる「刺し試験」が原義。","exampleDe":"Aus der Grundgesamtheit aller Wahlberechtigten wird eine repräsentative Stichprobe gezogen.","exampleJa":"全有権者の母集団から代表的な標本が抽出される。","exampleEn":"A representative sample is drawn from the population of all eligible voters."},{"id":"mathematik_322","word":"die Grundgesamtheit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"母集団","translationEn":"population","usageNotes":"統計的推測の対象となる全要素の集合。N で表記（母集団サイズ）。Stichprobe（標本）は Grundgesamtheit の一部。endliche（有限）と unendliche（無限）の母集団を区別する。","synonyms":["die Population"],"etymology":"ドイツ語 Grund（基盤）+ Gesamtheit（総体）< gesamt（全体の）+ -heit（名詞化）。「基盤となる全体」。","exampleDe":"Bei einer Volkszählung wird versucht, Daten von der gesamten Grundgesamtheit zu erheben.","exampleJa":"国勢調査では母集団全体からデータを収集しようとする。","exampleEn":"In a census, an attempt is made to collect data from the entire population."},{"id":"mathematik_323","word":"der Schätzer","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"推定量","translationEn":"estimator","usageNotes":"母数を推定するための統計量。erwartungstreuer Schätzer（不偏推定量）は E(θ̂) = θ を満たす。konsistenter Schätzer（一致推定量）は標本サイズ増大で真値に収束。","synonyms":["die Schätzfunktion"],"etymology":"ドイツ語 schätzen（推定する・評価する）+ -er（名詞化）。「評価するもの」。","exampleDe":"Der Stichprobenmittelwert ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Populationsmittelwert.","exampleJa":"標本平均は母平均の不偏推定量である。","exampleEn":"The sample mean is an unbiased estimator of the population mean."},{"id":"mathematik_324","word":"das Konfidenzintervall","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"信頼区間","translationEn":"confidence interval","usageNotes":"信頼水準（Konfidenzniveau）1-α のもとで構成される区間 [u, o]。95%-Konfidenzintervall（95%信頼区間）が慣例。Konfidenzintervall für μ（母平均の信頼区間）など。","synonyms":["das Vertrauensintervall"],"etymology":"ラテン語 confidentia（確信）< confidere（確信する）+ Intervall（区間）< ラテン語 intervallum（間隔）。","exampleDe":"Das 95%-Konfidenzintervall enthält den wahren Parameterwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%.","exampleJa":"95%信頼区間は真のパラメータ値を95%の確率で含む。","exampleEn":"The 95% confidence interval contains the true parameter value with a probability of 95%."},{"id":"mathematik_325","word":"der Hypothesentest","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"仮説検定","translationEn":"hypothesis test","usageNotes":"Nullhypothese H₀ と Alternativhypothese H₁ を設定する。Signifikanzniveau α（有意水準）に基づき H₀ を棄却するか判断。zweiseitiger（両側）と einseitiger（片側）の検定を区別。","synonyms":["der Signifikanztest","die Prüfstatistik"],"etymology":"ギリシャ語 hypothesis（仮定）< hypo-（下に）+ thesis（置くこと）。「検証のために下に置かれた仮定を試験すること」。","exampleDe":"Beim Hypothesentest wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn der p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau ist.","exampleJa":"仮説検定では p 値が有意水準より小さい場合に帰無仮説を棄却する。","exampleEn":"In a hypothesis test, the null hypothesis is rejected when the p-value is smaller than the significance level."},{"id":"mathematik_326","word":"die Nullhypothese","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"帰無仮説","translationEn":"null hypothesis","usageNotes":"H₀ と表記。仮説検定において「差がない・効果がない」という前提となる仮説。統計的検定によって棄却（ablehnen）または採択（beibehalten）される。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 nullus（無の）から。「効果がゼロ」という仮定を表す。英語 null hypothesis の直訳的借用。","exampleDe":"Die Nullhypothese besagt, dass ein neues Medikament keine Wirkung hat.","exampleJa":"帰無仮説は新薬に効果がないと述べる。","exampleEn":"The null hypothesis states that a new drug has no effect."},{"id":"mathematik_327","word":"der p-Wert","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"p値","translationEn":"p-value","usageNotes":"帰無仮説が正しいと仮定した場合に、観測された検定統計量以上に極端な値が得られる確率。p < α で帰無仮説を棄却。p はドイツ語では Irrtumswahrscheinlichkeit（誤謬確率）とも呼ばれる。","synonyms":["die Überschreitungswahrscheinlichkeit"],"etymology":"英語 p-value の p は probability（確率）の略。ドイツ語数学でも p-Wert としてそのまま使用。","exampleDe":"Ein p-Wert von 0,03 bedeutet, dass das Ergebnis bei gültiger Nullhypothese nur mit 3% Wahrscheinlichkeit auftritt.","exampleJa":"p値が0.03ということは、帰無仮説が正しい場合にその結果が起こる確率は3%に過ぎないことを意味する。","exampleEn":"A p-value of 0.03 means that the result would occur with only 3% probability if the null hypothesis were true."},{"id":"mathematik_328","word":"das Signifikanzniveau","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"有意水準","translationEn":"significance level","usageNotes":"α（アルファ）で表記。慣例的に α = 0.05（5%）または α = 0.01（1%）が使われる。第一種の誤り（Fehler 1. Art）を犯す最大許容確率。","synonyms":["das Konfidenzniveau"],"etymology":"ラテン語 significantia（意味のあること）+ Niveau（水準）。「統計的に意味を持つとみなす基準の水準」。","exampleDe":"Bei einem Signifikanzniveau von 5% werden 5% aller korrekten Nullhypothesen fälschlicherweise abgelehnt.","exampleJa":"有意水準5%では、正しい帰無仮説の5%が誤って棄却される。","exampleEn":"At a significance level of 5%, 5% of all correct null hypotheses are incorrectly rejected."},{"id":"mathematik_329","word":"der Median","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"中央値","translationEn":"median","usageNotes":"データを昇順に並べたときの中央の値。n が奇数なら第 (n+1)/2 番目の値、偶数なら第 n/2 番目と第 n/2+1 番目の平均。外れ値（Ausreißer）の影響を受けにくい。","synonyms":["der Zentralwert"],"etymology":"ラテン語 medianus（中間の）< medius（中央の）。算術平均（Mittelwert）と対比される概念。","exampleDe":"Der Median ist gegenüber Ausreißern robuster als der arithmetische Mittelwert.","exampleJa":"中央値は算術平均より外れ値に対してロバストである。","exampleEn":"The median is more robust to outliers than the arithmetic mean."},{"id":"mathematik_330","word":"der Modus","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"最頻値","translationEn":"mode","usageNotes":"データ集合の中で最も頻繁に現れる値。複数存在する場合は多峰性（multimodal）の分布となる。unimodal（単峰）、bimodal（双峰）。","synonyms":["der Modalwert","der häufigste Wert"],"etymology":"ラテン語 modus（尺度・様式）。「最も頻度の高い様式」という意味。","exampleDe":"In der Datenmenge {1, 2, 2, 3, 4} ist der Modus 2, da er am häufigsten vorkommt.","exampleJa":"データ集合 {1, 2, 2, 3, 4} において最頻値は2である。最も頻繁に現れるため。","exampleEn":"In the data set {1, 2, 2, 3, 4}, the mode is 2, as it appears most frequently."},{"id":"mathematik_331","word":"das Quartil","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"四分位数","translationEn":"quartile","usageNotes":"Q₁（第1四分位数・25%点）、Q₂（中央値・50%点）、Q₃（第3四分位数・75%点）。四分位範囲: IQR = Q₃ - Q₁。箱ひげ図（Boxplot）の構成要素。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 quartus（第4の）+ -il（分位を表す接尾辞）。データを4等分する点の意。","exampleDe":"Der Interquartilsabstand IQR = Q₃ - Q₁ misst die Streuung der mittleren 50% der Daten.","exampleJa":"四分位範囲 IQR = Q₃ - Q₁ はデータの中央50%の散らばりを測る。","exampleEn":"The interquartile range IQR = Q₃ - Q₁ measures the spread of the middle 50% of the data."},{"id":"mathematik_332","word":"der Interquartilsabstand","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"四分位範囲","translationEn":"interquartile range","usageNotes":"IQR = Q₃ - Q₁ と表記。外れ値（Ausreißer）の検出に使用: Q₃ + 1.5·IQR を超える値または Q₁ - 1.5·IQR を下回る値を外れ値とみなす（Tukey の規則）。","synonyms":["der IQR"],"etymology":"ラテン語 inter-（間）+ Quartil（四分位数）+ Abstand（距離）< ab-（から）+ Stand（立つこと）。","exampleDe":"Ein Boxplot zeigt den Interquartilsabstand als die Breite des Rechtecks zwischen Q₁ und Q₃.","exampleJa":"箱ひげ図では四分位範囲を Q₁ と Q₃ の間の長方形の幅として示す。","exampleEn":"A boxplot shows the interquartile range as the width of the box between Q₁ and Q₃."},{"id":"mathematik_333","word":"der Ausreißer","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"外れ値","translationEn":"outlier","usageNotes":"データ集合の他の値から極端に離れた観測値。IQR 法や z スコア（|z| > 2 または 3）で検出する。ロバスト統計（robuste Statistik）は外れ値の影響を軽減する。","synonyms":["der Ausnahme-Datenpunkt"],"etymology":"ドイツ語 aus-（外に）+ reißen（引き裂く）+ -er（名詞化）。「正常な範囲から引き裂かれて外に出た値」のイメージ。","exampleDe":"Ausreißer können den arithmetischen Mittelwert stark verzerren, beeinflussen den Median jedoch kaum.","exampleJa":"外れ値は算術平均を大きく歪める可能性があるが、中央値にはほとんど影響しない。","exampleEn":"Outliers can strongly distort the arithmetic mean but have little effect on the median."},{"id":"mathematik_334","word":"die Korrelation","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"相関","translationEn":"correlation","usageNotes":"2つの変数間の線形関係の強さ。Korrelationskoeffizient（相関係数）r: -1 ≤ r ≤ 1。r = 1（完全正相関）、r = -1（完全負相関）、r = 0（無相関）。","synonyms":["der Zusammenhang"],"etymology":"ラテン語 correlatio（相互関係）< cor-（共に）+ relatio（関係）< relatum（関係づけられたもの）。","exampleDe":"Eine hohe Korrelation zwischen zwei Variablen bedeutet nicht zwingend eine Kausalität.","exampleJa":"2つの変数間の高い相関は因果関係を必ずしも意味しない。","exampleEn":"A high correlation between two variables does not necessarily imply causality."},{"id":"mathematik_335","word":"der Korrelationskoeffizient","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"相関係数","translationEn":"correlation coefficient","usageNotes":"Pearson の相関係数 r = Cov(X,Y) / (σₓ·σᵧ)。-1 ≤ r ≤ 1。Spearman の順位相関係数（Rangkorrelationskoeffizient）は非線形関係にも適用可。","synonyms":["der Pearson-Korrelationskoeffizient"],"etymology":"ラテン語 correlatio（相互関係）+ Koeffizient（係数）。相関の程度を1つの数値で表す係数。","exampleDe":"Der Korrelationskoeffizient r = 0,9 deutet auf einen starken positiven linearen Zusammenhang hin.","exampleJa":"相関係数 r = 0.9 は強い正の線形関係を示す。","exampleEn":"A correlation coefficient of r = 0.9 indicates a strong positive linear relationship."},{"id":"mathematik_336","word":"die Kovarianz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"共分散","translationEn":"covariance","usageNotes":"Cov(X,Y) = E[(X-μₓ)(Y-μᵧ)] で定義。正なら正相関、負なら負相関、0なら無相関（ただし独立とは限らない）。分散は自身との共分散: Var(X) = Cov(X,X)。","synonyms":[],"etymology":"ラテン語 co-（共に）+ variare（変動する）+ -anz（名詞化）。「2変数が共に変動する程度」。","exampleDe":"Die Kovarianz misst, wie zwei Zufallsvariablen gemeinsam von ihren Mittelwerten abweichen.","exampleJa":"共分散は2つの確率変数がそれぞれの平均からどのように共に離れるかを測る。","exampleEn":"Covariance measures how two random variables deviate together from their respective means."},{"id":"mathematik_337","word":"die Regression","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"回帰","translationEn":"regression","usageNotes":"lineare Regression（線形回帰）: y = a + bx。Regressionskoeffizient（回帰係数）b = Cov(X,Y)/Var(X)。Bestimmtheitsmaß R²（決定係数）でモデルの適合度を測る。","synonyms":["die Regressionsanalyse"],"etymology":"ラテン語 regressio（後退）< regredi（後退する）。Francis Galton が「平均への回帰」現象を発見した際に使った語。","exampleDe":"Durch lineare Regression lässt sich eine Gerade finden, die die Datenpunkte am besten beschreibt.","exampleJa":"線形回帰によってデータ点を最もよく表す直線を求めることができる。","exampleEn":"Linear regression finds a straight line that best describes the data points."},{"id":"mathematik_338","word":"die Dichtefunktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"確率密度関数","translationEn":"probability density function","usageNotes":"PDF（Probability Density Function）。連続確率変数の分布を記述。f(x) ≥ 0 かつ ∫f(x)dx = 1 を満たす。P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx。","synonyms":["die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion","die PDF"],"etymology":"ドイツ語 Dichte（密度）+ Funktion（関数）。確率の「密度」がどのように分布するかを表す関数。","exampleDe":"Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung hat die Glockenkurvenform φ(x) = (1/√(2π))·e^(-x²/2).","exampleJa":"標準正規分布の確率密度関数は釣鐘曲線の形状 φ(x) = (1/√(2π))·e^(-x²/2) を持つ。","exampleEn":"The density function of the standard normal distribution has the bell curve shape φ(x) = (1/√(2π))·e^(-x²/2)."},{"id":"mathematik_339","word":"die Verteilungsfunktion","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"累積分布関数","translationEn":"cumulative distribution function","usageNotes":"CDF（Cumulative Distribution Function）。F(x) = P(X ≤ x)。非減少で右連続、F(-∞) = 0、F(+∞) = 1。連続型では F'(x) = f(x)（密度関数）。","synonyms":["die kumulative Verteilungsfunktion","die CDF"],"etymology":"ドイツ語 Verteilung（分布）+ Funktion（関数）。分布を関数として表したもの。","exampleDe":"Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit X den Wert x oder kleiner annimmt.","exampleJa":"累積分布関数 F(x) は確率変数 X が x 以下の値をとる確率を表す。","exampleEn":"The cumulative distribution function F(x) gives the probability that X takes a value of x or less."},{"id":"mathematik_340","word":"das Quantil","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"分位数","translationEn":"quantile","usageNotes":"p-Quantil（p分位数）は F(x) ≥ p を満たす最小の x。Quartile（四分位数）、Dezile（十分位数）、Perzentile（百分位数）はそれぞれ特定の分位数。","synonyms":["das Perzentil"],"etymology":"ラテン語 quantus（どれだけの）から。「データの何割がその値以下か」を示す。","exampleDe":"Das 95%-Quantil der Standardnormalverteilung beträgt ungefähr 1,645.","exampleJa":"標準正規分布の95%分位数は約1.645である。","exampleEn":"The 95th quantile of the standard normal distribution is approximately 1.645."},{"id":"mathematik_341","word":"der stochastische Prozess","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"確率過程","translationEn":"stochastic process","usageNotes":"時刻 t でインデックスされた確率変数の族 {X(t) : t ∈ T}。diskreter（離散時間）と stetiger（連続時間）の確率過程。Markov-Kette、Wiener-Prozess などが代表例。","synonyms":["der Zufallsprozess"],"etymology":"ギリシャ語 stochastes（推測する者）< stochazesthai（目標に向ける）+ Prozess（過程）。「確率的に展開する過程」。","exampleDe":"Die Brownsche Bewegung ist ein stetiger stochastischer Prozess mit unabhängigen Zuwächsen.","exampleJa":"ブラウン運動は独立な増分を持つ連続時間確率過程である。","exampleEn":"Brownian motion is a continuous stochastic process with independent increments."},{"id":"mathematik_342","word":"die Markov-Kette","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"マルコフ連鎖","translationEn":"Markov chain","usageNotes":"マルコフ性（Markov-Eigenschaft）: P(Xₙ₊₁|Xₙ, ..., X₀) = P(Xₙ₊₁|Xₙ)。現在の状態のみが次の状態を決定する。Übergangsmatrix（推移行列）で記述される有限マルコフ連鎖。","synonyms":["die Markow-Kette"],"etymology":"ロシアの数学者 Andrei Markov（1856–1922）の名前に由来。Kette = 「鎖」。","exampleDe":"In einer Markov-Kette hängt der nächste Zustand nur vom aktuellen Zustand ab, nicht von der Geschichte.","exampleJa":"マルコフ連鎖では次の状態は現在の状態のみに依存し、過去の履歴には依存しない。","exampleEn":"In a Markov chain, the next state depends only on the current state, not on the history."},{"id":"mathematik_343","word":"das Gesetz der großen Zahlen","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"大数の法則","translationEn":"law of large numbers","usageNotes":"schwaches Gesetz（弱い大数の法則）: 標本平均が確率収束で期待値に近づく。starkes Gesetz（強い大数の法則）: 概収束を保証。Bernoullis Theorem とも呼ぶ。","synonyms":["das Bernoullische Gesetz"],"etymology":"ドイツ語 Gesetz（法則）+ groß（大きな）+ Zahlen（数）。Jacob Bernoulli が1713年の著書 'Ars Conjectandi' で証明した定理。","exampleDe":"Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Stichprobenmittelwert mit wachsendem Stichprobenumfang gegen den Erwartungswert konvergiert.","exampleJa":"大数の法則は、標本サイズが大きくなるにつれ標本平均が期待値に収束することを述べる。","exampleEn":"The law of large numbers states that the sample mean converges to the expected value as the sample size increases."},{"id":"mathematik_344","word":"der zentrale Grenzwertsatz","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"中心極限定理","translationEn":"central limit theorem","usageNotes":"独立同分布の確率変数の和を標準化した量が正規分布に収束する定理。(X̄ - μ)/(σ/√n) → N(0,1)（n→∞）。統計的推測の理論的基礎。略して ZGS とも。","synonyms":["der ZGS"],"etymology":"ドイツ語 zentral（中心的）+ Grenzwertsatz（極限値定理）< Grenzwert（極限値）+ Satz（定理）。「分布収束の中心的な定理」。","exampleDe":"Dank des zentralen Grenzwertsatzes ist die Summe vieler unabhängiger Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt.","exampleJa":"中心極限定理のおかげで、多くの独立な確率変数の和は近似的に正規分布に従う。","exampleEn":"Thanks to the central limit theorem, the sum of many independent random variables is approximately normally distributed."},{"id":"mathematik_345","word":"die Unabhängigkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"独立性","translationEn":"independence","usageNotes":"事象 A, B が独立 ⟺ P(A ∩ B) = P(A)·P(B)。確率変数 X, Y の独立性: f(x,y) = fₓ(x)·fᵧ(y)。相関なし（unkorreliert）とは区別する（無相関でも独立でない場合がある）。","synonyms":["die stochastische Unabhängigkeit"],"etymology":"ドイツ語 un-（非）+ abhängig（依存する）+ -keit（名詞化）。「他に依存しない」こと。","exampleDe":"Zwei Münzwürfe sind stochastisch unabhängig, da das Ergebnis des ersten den zweiten nicht beeinflusst.","exampleJa":"2回のコイン投げは確率論的に独立である。なぜなら最初の結果が2回目に影響しないからだ。","exampleEn":"Two coin flips are stochastically independent because the outcome of the first does not affect the second."},{"id":"mathematik_346","word":"die Zufallsstichprobe","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"無作為標本","translationEn":"random sample","usageNotes":"母集団から各要素が等確率で選ばれた標本。einfache Zufallsstichprobe（単純無作為標本）、geschichtete Stichprobe（層化標本）などの種類がある。","synonyms":["die einfache Zufallsstichprobe"],"etymology":"ドイツ語 Zufall（偶然）+ Stichprobe（標本）。「偶然（無作為）に抽出した標本」。","exampleDe":"Eine einfache Zufallsstichprobe stellt sicher, dass jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden.","exampleJa":"単純無作為標本は母集団の各要素が選ばれる確率が等しいことを保証する。","exampleEn":"A simple random sample ensures that every element of the population has an equal chance of being selected."},{"id":"mathematik_347","word":"der Fehler erster Art","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"第一種の誤り","translationEn":"type I error","usageNotes":"正しい帰無仮説を誤って棄却すること。「偽陽性（falsch positiv）」とも言う。その確率は有意水準 α（アルファ誤り / Alpha-Fehler）に等しい。Fehler zweiter Art（第二種の誤り）と対比。","synonyms":["der Alpha-Fehler","der Fehler 1. Art"],"etymology":"ドイツ語 Fehler（誤り）+ erster（第一の）+ Art（種類）。第一種と第二種の誤りの分類は Neyman と Pearson（1933）が導入。","exampleDe":"Ein Fehler erster Art tritt auf, wenn man eine tatsächlich wirksame Nullhypothese verwirft.","exampleJa":"第一種の誤りは実際に正しい帰無仮説を棄却した場合に生じる。","exampleEn":"A type I error occurs when a true null hypothesis is rejected."},{"id":"mathematik_348","word":"der Fehler zweiter Art","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"第二種の誤り","translationEn":"type II error","usageNotes":"誤った帰無仮説を棄却しないこと（見逃し）。「偽陰性（falsch negativ）」とも言う。その確率は β（ベータ誤り / Beta-Fehler）。検出力（Teststärke）= 1 - β。","synonyms":["der Beta-Fehler","der Fehler 2. Art"],"etymology":"ドイツ語 Fehler（誤り）+ zweiter（第二の）+ Art（種類）。","exampleDe":"Ein Fehler zweiter Art tritt auf, wenn ein tatsächlich existierender Effekt nicht erkannt wird.","exampleJa":"第二種の誤りは実際に存在する効果が検出されない場合に生じる。","exampleEn":"A type II error occurs when an actually existing effect is not detected."},{"id":"mathematik_349","word":"die Teststärke","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"検出力","translationEn":"statistical power","usageNotes":"Power = 1 - β（第二種の誤りの確率）。誤った帰無仮説を正しく棄却する確率。標本サイズ n の増大で高まる。通常 0.8（80%）以上が望ましい。","synonyms":["die statistische Power","die Trennschärfe"],"etymology":"ドイツ語 Test（検定）+ Stärke（強さ）。「検定の強さ」＝「効果を検出する能力の強さ」。","exampleDe":"Eine höhere Teststärke bedeutet, dass ein echter Effekt mit größerer Wahrscheinlichkeit erkannt wird.","exampleJa":"検出力が高いほど、真の効果がより高い確率で検出される。","exampleEn":"Higher statistical power means that a real effect is detected with greater probability."},{"id":"mathematik_350","word":"das Histogramm","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"ヒストグラム","translationEn":"histogram","usageNotes":"データの度数分布を棒グラフで表したもの。横軸: Klassenbreite（階級幅）、縦軸: Häufigkeit（度数）または relative Häufigkeit（相対度数）。Klasse（階級）の幅が等しい場合が一般的。","synonyms":["das Häufigkeitsdiagramm"],"etymology":"ギリシャ語 histos（柱・帆柱）+ gramma（書かれたもの）。「柱で書かれた図」。1891年に Karl Pearson が導入した語。","exampleDe":"Ein Histogramm zeigt die Häufigkeitsverteilung der Messwerte durch nebeneinanderstehende Rechtecke.","exampleJa":"ヒストグラムは隣り合う長方形によって測定値の度数分布を示す。","exampleEn":"A histogram displays the frequency distribution of measurements using adjacent rectangles."},{"id":"mathematik_351","word":"die Häufigkeit","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"度数、頻度","translationEn":"frequency","usageNotes":"absolute Häufigkeit（絶対度数）: ある値が何回現れるか。relative Häufigkeit（相対度数）= absolute Häufigkeit / Gesamtzahl。Häufigkeitsverteilung（度数分布）。","synonyms":["die Frequenz"],"etymology":"ドイツ語 häufig（頻繁な）+ -keit（名詞化）< Haufen（山積み・多量）。「多く積み重なった回数」。","exampleDe":"Die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert sich bei vielen Versuchen seiner Wahrscheinlichkeit an.","exampleJa":"試行回数を増やすと、事象の相対度数はその確率に近づく。","exampleEn":"As the number of trials increases, the relative frequency of an event approaches its probability."},{"id":"mathematik_352","word":"der Bernoulli-Versuch","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"ベルヌーイ試行","translationEn":"Bernoulli trial","usageNotes":"2通りの結果（成功/失敗）のみを持つ確率試行。P(Erfolg) = p、P(Misserfolg) = 1-p = q。n 回の独立なベルヌーイ試行が二項分布を生成する。","synonyms":[],"etymology":"スイスの数学者 Jacob Bernoulli（1655–1705）の名に由来。確率論の父とも言われる。","exampleDe":"Ein Münzwurf ist ein klassischer Bernoulli-Versuch mit p = 0,5 für Kopf.","exampleJa":"コイン投げは表の確率 p = 0.5 の古典的なベルヌーイ試行である。","exampleEn":"A coin flip is a classic Bernoulli trial with p = 0.5 for heads."},{"id":"mathematik_353","word":"die Stichprobenvarianz","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"標本分散","translationEn":"sample variance","usageNotes":"s² = (1/(n-1)) · ∑(xᵢ - x̄)² で定義（不偏推定のため n-1 で割る）。母分散（σ²）の不偏推定量。n で割る場合は biased sample variance（偏標本分散）。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Stichprobe（標本）+ Varianz（分散）。「標本から計算した分散」。","exampleDe":"Die Stichprobenvarianz s² ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Populationsvarianz σ².","exampleJa":"標本分散 s² は母分散 σ² の不偏推定量である。","exampleEn":"The sample variance s² is an unbiased estimator of the population variance σ²."},{"id":"mathematik_354","word":"die Schieflage","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"歪度","translationEn":"skewness","usageNotes":"分布の非対称性を表す指標。γ₁ = E[(X-μ)³]/σ³。γ₁ > 0（右に歪んだ分布）、γ₁ < 0（左に歪んだ分布）、γ₁ = 0（対称分布）。","synonyms":["die Schiefe","der Asymmetriemaß"],"etymology":"ドイツ語 schief（斜めの・歪んだ）+ Lage（位置・姿勢）。「斜めに傾いた状態」。","exampleDe":"Eine rechtsschiefe Verteilung hat einen langen rechten Ausläufer und einen Mittelwert größer als der Median.","exampleJa":"右に歪んだ分布は長い右の裾を持ち、平均値が中央値より大きい。","exampleEn":"A right-skewed distribution has a long right tail and a mean greater than the median."},{"id":"mathematik_355","word":"die Kurtosis","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"尖度","translationEn":"kurtosis","usageNotes":"分布の尖り具合を表す指標。γ₂ = E[(X-μ)⁴]/σ⁴。正規分布の尖度 = 3。超過尖度（Exzesskurtosis）= γ₂ - 3。leptokurtisch（> 0）、platykurtisch（< 0）。","synonyms":["die Wölbung","die Steilheit"],"etymology":"ギリシャ語 kurtos（曲がった・盛り上がった）+ -osis（状態）。「分布の峰の鋭さ」を表す。","exampleDe":"Eine Verteilung mit hoher Kurtosis hat schwerere Schwänze als die Normalverteilung.","exampleJa":"尖度が高い分布は正規分布より重い裾を持つ。","exampleEn":"A distribution with high kurtosis has heavier tails than the normal distribution."},{"id":"mathematik_356","word":"der t-Test","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"t検定","translationEn":"t-test","usageNotes":"母分散未知の場合に平均を検定する方法。t-Verteilung（t分布）を使用。Einstichproben-t-Test（一標本）、Zweistichproben-t-Test（二標本）、gepaarter t-Test（対応あり）の3種類。","synonyms":["der Student-Test"],"etymology":"William Sealy Gosset（1876–1937）が Student というペンネームで発表した検定法。t はおそらく test の頭文字。","exampleDe":"Mit einem Zweistichproben-t-Test prüft man, ob zwei Gruppen den gleichen Mittelwert haben.","exampleJa":"二標本 t 検定で2つのグループの平均が等しいかを検定する。","exampleEn":"A two-sample t-test is used to test whether two groups have the same mean."},{"id":"mathematik_357","word":"der Chi-Quadrat-Test","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"カイ二乗検定","translationEn":"chi-squared test","usageNotes":"χ²-Verteilung（カイ二乗分布）を使用。適合度検定（Anpassungstest）と独立性検定（Unabhängigkeitstest）が主な用途。検定統計量: χ² = ∑(beobachtet - erwartet)²/erwartet。","synonyms":["der χ²-Test"],"etymology":"ギリシャ文字 χ（カイ）を用いた検定統計量から命名。Karl Pearson が1900年に導入。","exampleDe":"Mit dem Chi-Quadrat-Test lässt sich prüfen, ob zwei kategoriale Variablen statistisch unabhängig sind.","exampleJa":"カイ二乗検定で2つのカテゴリ変数が統計的に独立かどうかを検定できる。","exampleEn":"The chi-squared test can be used to check whether two categorical variables are statistically independent."},{"id":"mathematik_358","word":"die Varianzanalyse","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"分散分析","translationEn":"analysis of variance","usageNotes":"ANOVA（Analysis of Variance）。3つ以上のグループ平均を同時に比較する検定。einfaktorielle ANOVA（一元配置）、mehrfaktorielle ANOVA（多元配置）。F-Verteilung（F分布）を使用。","synonyms":["die ANOVA"],"etymology":"ドイツ語 Varianz（分散）+ Analyse（分析）。Ronald Fisher が1920年代に開発した手法。","exampleDe":"Die einfaktorielle Varianzanalyse prüft, ob die Mittelwerte mehrerer Gruppen signifikant verschieden sind.","exampleJa":"一元配置分散分析は複数のグループ平均が有意に異なるかどうかを検定する。","exampleEn":"One-way ANOVA tests whether the means of several groups are significantly different."},{"id":"mathematik_359","word":"die Maximum-Likelihood-Schätzung","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"最尤推定","translationEn":"maximum likelihood estimation","usageNotes":"MLE（Maximum Likelihood Estimation）。尤度関数 L(θ|x) を最大化するパラメータ θ̂ を求める推定法。L(θ|x) の対数をとった対数尤度（log-Likelihood）の最大化が実用的。","synonyms":["die MLE","die ML-Schätzung"],"etymology":"ドイツ語 Maximum（最大値）+ Likelihood（尤度）+ Schätzung（推定）。Ronald Fisher が1922年に体系化。","exampleDe":"Die Maximum-Likelihood-Schätzung liefert bei großen Stichproben konsistente und asymptotisch effiziente Schätzer.","exampleJa":"最尤推定は大きな標本に対して一致かつ漸近的に有効な推定量を与える。","exampleEn":"Maximum likelihood estimation provides consistent and asymptotically efficient estimators for large samples."},{"id":"mathematik_360","word":"das Wahrscheinlichkeitsmaß","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"確率測度","translationEn":"probability measure","usageNotes":"コルモゴロフの公理（Kolmogorov-Axiome）を満たす測度 P: σ-Algebra → [0,1]。公理: (1) P(Ω)=1、(2) P(A)≥0、(3) σ-加法性。Wahrscheinlichkeitsraum（確率空間）(Ω, F, P) の構成要素。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Wahrscheinlichkeit（確率）+ Maß（測度・尺度）。測度論（Maßtheorie）の枠組みで確率を定義したもの。","exampleDe":"Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P weist jedem Ereignis eine Zahl zwischen 0 und 1 zu.","exampleJa":"確率測度 P は各事象に0以上1以下の数を割り当てる。","exampleEn":"A probability measure P assigns a number between 0 and 1 to each event."},{"id":"mathematik_361","word":"die Sigma-Algebra","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"σ代数","translationEn":"sigma-algebra","usageNotes":"標本空間 Ω の部分集合族 F で、(1) Ω ∈ F、(2) A ∈ F ⇒ Aᶜ ∈ F、(3) 可算和で閉じている。確率空間の可測事象を定義するための構造。","synonyms":["die σ-Algebra","die Sigmaalgebra"],"etymology":"ギリシャ文字 σ（シグマ）+ Algebra（代数学）。σ はドイツ語 Summe（和）に由来し、可算和に閉じた構造を表す。","exampleDe":"Die Borel-σ-Algebra ist die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen der reellen Zahlen enthält.","exampleJa":"ボレル σ代数は実数のすべての開集合を含む最小の σ代数である。","exampleEn":"The Borel sigma-algebra is the smallest sigma-algebra containing all open sets of real numbers."},{"id":"mathematik_362","word":"der Wiener-Prozess","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"ウィーナー過程","translationEn":"Wiener process","usageNotes":"標準ブラウン運動 B(t) とも言う。性質: (1) B(0)=0、(2) 独立な増分、(3) B(t)-B(s) ~ N(0, t-s)、(4) 連続な標本路。金融数学（Finanzstochastik）の基礎モデル。","synonyms":["die Brownsche Bewegung","die Brownian Motion"],"etymology":"アメリカの数学者 Norbert Wiener（1894–1964）の名に由来。ブラウン運動（Robert Brown が1827年に観察）の数学的定式化。","exampleDe":"Der Wiener-Prozess modelliert die zufälligen Preisschwankungen von Wertpapieren in der Finanzmathematik.","exampleJa":"ウィーナー過程は金融数学における有価証券の価格のランダムな変動をモデル化する。","exampleEn":"The Wiener process models the random price fluctuations of securities in financial mathematics."},{"id":"mathematik_363","word":"der Stichprobenfehler","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"標本誤差","translationEn":"sampling error","usageNotes":"標本統計量と母数の差。標本サイズ n の増大で減少する。Standardfehler（標準誤差）= σ/√n は推定量のバラつきを表す。系統誤差（systematischer Fehler）と区別する。","synonyms":["die Stichprobenvariation"],"etymology":"ドイツ語 Stichprobe（標本）+ Fehler（誤り）。「標本抽出に起因する誤差」。","exampleDe":"Der Stichprobenfehler lässt sich durch einen größeren Stichprobenumfang reduzieren, aber nicht vollständig eliminieren.","exampleJa":"標本誤差はより大きな標本サイズによって減らせるが、完全には除去できない。","exampleEn":"Sampling error can be reduced by a larger sample size, but cannot be completely eliminated."},{"id":"mathematik_364","word":"der Standardfehler","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"標準誤差","translationEn":"standard error","usageNotes":"SE = s/√n（s: 標本標準偏差、n: 標本サイズ）。標本平均の標準偏差。信頼区間の構成と仮説検定における検定統計量の計算に使用。","synonyms":[],"etymology":"ドイツ語 Standard（基準）+ Fehler（誤差）。「推定量の標準的な誤差の大きさ」。","exampleDe":"Der Standardfehler des Mittelwerts gibt an, wie stark der Stichprobenmittelwert um den wahren Mittelwert streut.","exampleJa":"平均の標準誤差は標本平均が真の平均の周りにどれほどばらつくかを示す。","exampleEn":"The standard error of the mean indicates how much the sample mean varies around the true mean."},{"id":"mathematik_365","word":"das Geburtstagsproblem","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"誕生日問題","translationEn":"birthday problem","usageNotes":"23人以上のグループで2人が同じ誕生日を持つ確率が50%を超える問題。確率の直感に反する結果として有名。P(少なくとも2人が同じ) = 1 - 365!/((365-n)! · 365ⁿ)。","synonyms":["das Geburtstagsparadoxon"],"etymology":"ドイツ語 Geburtstag（誕生日）+ Problem（問題）。確率論の直感的理解を深める古典的な問題として知られる。","exampleDe":"Im Geburtstagsproblem genügen schon 23 Personen, damit die Wahrscheinlichkeit einer übereinstimmenden Geburtstag über 50% liegt.","exampleJa":"誕生日問題では23人いれば同じ誕生日を持つ確率が50%を超える。","exampleEn":"In the birthday problem, just 23 people are sufficient for the probability of a shared birthday to exceed 50%."},{"id":"mathematik_366","word":"das Paradoxon von Monty Hall","article":"das","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"モンティ・ホール問題","translationEn":"Monty Hall problem","usageNotes":"3つのドアのうち1つに当たりがある。ホストが外れのドアを開けた後、選択を変えると当選確率が1/3から2/3に上がる問題。ベイズの定理で説明できる確率論の古典的パラドックス。","synonyms":["das Ziegenproblem"],"etymology":"アメリカのゲーム番組 'Let's Make a Deal' の司会者 Monty Hall（1921–2017）の名前に由来。","exampleDe":"Beim Paradoxon von Monty Hall verdoppelt ein Wechsel der Türwahl die Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 auf 2/3.","exampleJa":"モンティ・ホール問題では選択を変えると当選確率が1/3から2/3に倍増する。","exampleEn":"In the Monty Hall problem, switching doors doubles the winning probability from 1/3 to 2/3."},{"id":"mathematik_367","word":"der Erwartungswert berechnen","article":null,"partOfSpeech":"verb","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"期待値を計算する","translationEn":"to calculate the expected value","usageNotes":"動詞句として: den Erwartungswert berechnen / bestimmen。離散型: E(X) = ∑ xᵢ P(xᵢ)。連続型: E(X) = ∫ x f(x) dx。線形性: E(aX+b) = aE(X)+b。","synonyms":[],"etymology":null,"exampleDe":"Man berechnet den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen durch Integration über die Dichtefunktion.","exampleJa":"連続確率変数の期待値は密度関数上の積分によって計算する。","exampleEn":"The expected value of a continuous random variable is calculated by integrating over the density function."},{"id":"mathematik_368","word":"die Entropie","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"エントロピー","translationEn":"entropy","usageNotes":"Shannon エントロピー: H(X) = -∑ P(xᵢ) log₂ P(xᵢ)（情報理論）。不確実性・情報量の尺度。最大エントロピーは一様分布で達成。相対エントロピー（Kullback-Leibler-Divergenz）も重要。","synonyms":["die Informationsentropie","die Shannon-Entropie"],"etymology":"ギリシャ語 en-（中に）+ trope（変換・転換）。Rudolf Clausius が熱力学で導入した語を Claude Shannon が情報理論に転用（1948）。","exampleDe":"Die Shannon-Entropie misst den durchschnittlichen Informationsgehalt einer Zufallsvariablen in Bits.","exampleJa":"シャノンエントロピーは確率変数の平均情報量をビット単位で測る。","exampleEn":"Shannon entropy measures the average information content of a random variable in bits."},{"id":"mathematik_369","word":"die Regression zur Mitte","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"平均への回帰","translationEn":"regression to the mean","usageNotes":"極端な値を示した測定が次回には平均に近づく統計的傾向。相関が完全（r=1）でない限り常に発生する。Francis Galton が身長データで発見（1886）。","synonyms":["die Regression zum Mittelwert"],"etymology":"ドイツ語 Regression（後退）+ zur Mitte（中央へ）。Francis Galton の 'regression towards mediocrity'（平凡さへの後退）という語の翻訳。","exampleDe":"Regression zur Mitte erklärt, warum auf einen Spitzenleistung oft eine durchschnittlichere Leistung folgt.","exampleJa":"平均への回帰は、ある好成績の後にしばしば平均的な成績が続く理由を説明する。","exampleEn":"Regression to the mean explains why an outstanding performance is often followed by a more average one."},{"id":"mathematik_370","word":"der Zufallsgenerator","article":"der","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"乱数生成器","translationEn":"random number generator","usageNotes":"Pseudozufallszahlengenerator（疑似乱数生成器、PRNG）と echter Zufallszahlengenerator（真の乱数生成器、TRNG）を区別する。Monte-Carlo-Methode（モンテカルロ法）の基礎。","synonyms":["der Pseudozufallsgenerator","der PRNG"],"etymology":"ドイツ語 Zufall（偶然）+ Generator（生成器）< ラテン語 generare（生む）。「偶然の数を生み出す装置」。","exampleDe":"Monte-Carlo-Simulationen verwenden einen Zufallsgenerator, um komplexe Integrale numerisch zu berechnen.","exampleJa":"モンテカルロシミュレーションは乱数生成器を使って複雑な積分を数値的に計算する。","exampleEn":"Monte Carlo simulations use a random number generator to numerically compute complex integrals."},{"id":"mathematik_371","word":"die Stochastik","article":"die","partOfSpeech":"noun","level":"mathematik","category":"統計・確率","translationJa":"確率・統計論","translationEn":"probability theory and statistics","usageNotes":"ドイツの数学教育では Wahrscheinlichkeitsrechnung（確率計算）と Statistik（統計学）を合わせた領域を Stochastik と呼ぶことが多い。ギムナジウムの必修科目。","synonyms":["die Wahrscheinlichkeitstheorie"],"etymology":"ギリシャ語 stochastikos（目標を定めること・推測すること）< stochazesthai（狙いを定める）。「確率的な」の意。","exampleDe":"Stochastik verbindet die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Statistik und ist ein zentrales Gebiet der modernen Mathematik.","exampleJa":"確率・統計論は確率計算と統計学を結びつけ、現代数学の中心的な分野である。","exampleEn":"Stochastics combines probability theory with statistics and is a central area of modern mathematics."}]